高雷诺数壁面剪切湍流中相干结构的非线性动力学

The present project aims to develop a mathematical theory (model) describing the nonlinear dynamics of large-scale coherent structures in high-Reynolds-number turbulent wall shear flows by extending and unifying several approaches that emerged recently, namely, exact coherent structures (ECS) theory, resolvent analysis and modelling of coherent structures using nonlinear instability theory. Specifically, small-scale fluctuations will be introduced to ECS, while to the resolvent analysis the nonlinearity of the coherent structure, hidden in the so-called forcing term, will be reinstated, and the high-Reynolds-number assumption be made. The resulting mathematical setup allows us to unravel the nature and role of large-small scale interactions, which are key to the theoretical or modelling development, through a nonlinear resolvent analysis and consideration of small-scale high-frequency instability of coherent structures, whereby a model for the phase-veraged Reynolds stresses of small-scale fluctuations will be proposed. Direct numerical simulations will be performed for the plane Couette flow with large-scale roughness being present on the wall. The data will be employed to guide the construction of the model as well as to assess critically the validity of existing and the new approaches.

本项目致力于发展高雷诺数壁面剪切湍流大尺度相干结构的非线性动力学数学理论模型。为实现这一目标，我们推广和统一最近提出的关于相干结构的概念和方法，包括：精确相干结构理论，‘resolvent analysis' 和 相干结构的非线性稳定性方法。具体地讲，在精确相干结构理论中引入小尺度脉动，而在‘resolvent analysis'则 恢复被隐藏到“强迫项“中去的相干结构自身非线性，并作高雷诺数假设。在由此得到的数学形式中，我们可以通过非线性‘resolvent analysis'和考虑相干结构的小尺度高频稳定性，揭示大-小尺度脉动相互作用的性质。在此基础上，提出小尺度脉动相位平均应力的模型。同时，我们针对（壁面有大尺度粗超度的）平面Couette流进行直接数值模拟，所得数据将用来指导模型的构造，也对新的和原有的方法进行评估。

剪切湍流中的相干结构因为在湍流的产生与维持，阻力和噪音产生中起重要作用而受到长期关注，尤其在最近10多年来，吸引了大量的研究。关于相干结构的数学理论，目前主要有三类：“预解分析（resolvent analysis)”，“精确相干理论（exact coherent structures)” 以及基于稳定性概念的非线性方法。这三种理论能够描述相干结构的部分（而非全部）性质和特征，但它们之间几乎没有重叠，因此本项目试图通过保留和结合它们各自的合理部分，提出较为统一的相干结构动力学的数学理论模型。我们在通常的完全线性的“预解分析”框架中，引入非线性效应，发展“非线性预解分析”，发现非线性使得相干结构获得比线性预解分析所预测的更丰富的空间结构。另一方面，在现有“精确相干结构”理论中，考虑小尺度脉动，研究其对相干结构的影响，发现小尺度脉动所产生的相干雷诺应力，在较低强度时亦能影响（驱动）大尺度相干结构中的条纹结构。对小尺度脉动的动力学从两个途径进行了探讨。一是参考时间平均雷诺应力Rotta-Lumley模型，发展了小尺度脉动相干雷诺应力的输运方程模型，发现小尺度脉动可产生非均匀、非各向同性色散效应和扩散效应。第二个也是更本质的途径是，寻找大尺度相干结构通过其高频小尺度二次稳定性，作为产生和维持小尺度的机理，发现二次稳定性只能在大尺度结构具有充分非线性时才可能出现。为此，首先研究了弱三维相干结构的非线性动力行为及其在声波辐射中的作用。本项目研究结果揭示了相干结构动力学的几个重要侧面，为最终建立能够刻画大小尺度双向相互作用，相互维持的理论模型提供了可能的必要构成部分。