黎曼流形上椭圆微分不等式非负解的唯一性及其相关问题的研究

Differential inequalities of elliptic type is a well-established area of Mathematics, on one hand a rich class of differential inequalities in Euclidean space was systematically studied by many outstanding mathematicians, such as Mitidieri, Pohozaev, Serrin, Bidaut-Veron and Ni, who made huge contribution to this area, on the other hand, not much was known on general Riemannian manifolds. In the Cheng and Yau’s celebrated paper, which was published in CPAM, they proved that under a quadratic volume growth hypothesis, any positive superharmonic function on the manifold is identical constant. Motivated by this marvelous result, we try to use the volume growth to obtain the uniqueness of nonnegative solutions of differential inequalities. Note only under the mild volume growth assumption, such classical tools in Euclidean space as Harnack inequalities, estimate of fundamental solutions and a priori estimate are not available anymore. We try the method we have developed to study especially the following questions: the uniqueness of solution on exterior domain, explicit expression of integrated volume growth and uniqueness of solutions of system.

椭圆型微分不等式是数学领域一个比较重要的分支，一方面在欧氏空间中一大类的微分不等式被很多优秀的数学家广泛地研究，其中Mitidieri、Pohozaev、Serrin、Bidaut-Veron和倪伟明等做出了巨大的贡献，但另外一方面黎曼流形上微分不等式的研究发展还不如人意。在郑绍远和丘成桐于1975年发表在CPAM上著名的文章中，证明了如果测地球体积增长速度是不大于测地半径二次方的，则上调和函数恒为常数。受该结果的启发，我们尝试用黎曼流形上测地球的体积增长估计来解决微分不等式非负解唯一性的问题。注意到此时如果仅有体积增长的假设，则欧氏空间中很多常用的办法此时在流形上是行不通的，如Harnack不等式、基本解估计及先验估计等。本课题尝试用我们前期发展的技术解决如下问题：黎曼流形中外区域上微分不等式非负解的唯一性问题，及黎曼流形中积分型体积增长的显式表达，以及微分不等式系统非负解的唯一性问题。

黎曼流形上微分不等式解的存在性与非存在性的研究是偏微分方程与几何分析方向研究的一个重要分支，吸引了一大批国际知名数学家的关注，代表人物如俄罗斯科学院院士Pohozaev，美国科学院院士Serrin，以及Mitidieri, Bidaut-Veron，Verbitsky等。尤其是Pohozaev和Mitidieri在欧式空间中发展起来的非线性容度估计的办法，对于处理欧式空间中的微分不等式非常有效。但是由于黎曼流形的特殊结构，非线性容度估计的办法不再适用。在丘成桐和郑绍远教授1975年发表在CPAM上文章中，他们证明了如果测地球体积增长速度不大于测地球半径的二次方，则黎曼流形上的上调和函数恒为常数。受此结果的启发，在本项目我们利用体积估计，同时改进了非线性容度估计的办法，证明了在某种适当测地球体积增长条件下，一大类微分不等式解的非存在性；同时给出了如果测地球体积增长超过预定的临界指标，则相应的微分不等式是存在非平凡正解的。进一步，我们尝试性给出了对于系统问题以及外区域上不等式的处理办法，以及如何证明指标的临界性。