近复流形与广义复流形的Kodaira维数和Hodge数

The proposed project mainly investigates problems related to the Kodaira dimension and Hodge numbers on almost complex manifolds and generalized complex manifolds. Kodaira dimension and Hodge numbers are famous invariants on complex manifolds. Kodaira dimension can be also defined on 4-dimensional symplectic manifolds which turns out to be a symplectic birational invariant. Both complex and symplectic maniofolds admit almost complex structures. Therefore, the study of Kodaira dimension and Hodge number on almost complex manifolds is a natural generalization of the theory of complex and symplectic geometry. It would be a fundamental step to study the birational geometry of almost complex manifolds. First, we will study the deformation property of Kodaira dimension and birational classification of 4-dimensional almost complex manifolds. Next, we will study the harmonic Hodge number on almost complex manifolds, which is a part of the Hirzebruch problem 20. Finally, we will try to define the Kodaira dimension on generalized complex manifolds. By viewing symplectic structure as special generalized complex structures, we hope that we can obtain new invariant of symplectic structures.

本项目主要研究近复流形与广义复流形的Kodaira维数和Hodge数。Kodaira维数和Hodge数是复流形上著名的不变量，Kodaira维数也可定义在四维辛流形上，为辛结构的双有理不变量。复流形和辛流形都容许近复结构，故一个自然问题是研究一般近复流形上的Kodaira维数和Hodge数。这将是建立近复流形双有理几何的关键步骤之一。我们首先研究近复流形上Kodaira维数的形变性和四维近复流形的双有理分类问题。其次，我们将研究近复流形上Hodge数对Hermitian度量的依赖性，对Hirzebruch问题二十作出部分解答。最后，我们研究Kodaira维数在广义复流形上的推广，希望通过将辛结构映射为广义复结构，定义出新的不变量。

1. Kodaira维数和Hodge数是代数几何与复几何中一类基本的不变量，研究它们在近复流形上的推广和性质是建立近复双有理几何的关键之一。我们在紧致近复流形上证明了Kodaira维数和调和Hodge数的良定性，随后我们研究了近复Kodaira维数的一系列性质，例如其双有理不变性，形变的上半连续性及跳跃性，正数量曲率的消灭性，四维辛流形上的有界性等，我们还研究了六维球面及一般六维nearly凯勒流形上的多重亏格和Kodaira维数。研究结果和方法推进了近复几何的发展。2. 全纯截曲率是高斯曲率在高维复流形上自然的推广，是Hermitian流形上最重要的曲率之一。分类具常全纯截曲率的Hermitian流形是复几何的一个基本问题。我们对Gauduchon全纯截曲率为逐点常数的紧致Hermitian曲面进行了完整分类，从而解决了这一问题的二维情形。对于高维情形，我们证明了在度量为局部共形凯勒的情形下，陈省身全纯截曲率为负常数或零的紧Hermitian流形一定是凯勒的，从而其万有覆盖双全纯等距于复双曲空间或复欧氏空间。研究结果促进了对非凯勒几何复空间形式的系统研究。3. Schwarz 引理刻画了流形曲率与全纯映射度量递减的关系，是几何与分析中一个基本的工具。我们研究了Yau的, Royden的和Tosatti的Schwarz引理中等号在一点成立的情形，推广了Ahlfors-Schwarz 引理在黎曼面上等号一点成立则处处成立的结果。我们应用J-全纯圆盘的技巧得到了近Hermitian流形上度量递减系数仅依赖于初始流形全纯截曲率下界和目标流形全纯截曲率上界的一个新的广泛的 Schwarz引理。应用Schwarz引理的技巧，我们证明了在Pseudo-Hermitian流形上关于三种全纯映射的Liouville型定理。4. 广义复结构是由Hitchin引进，统一复结构与辛结构的一种新几何结构，与物理的弦理论密切相关。我们用近双Hermitian结构刻画了广.义近复结构的可积性，证明了紧致可定向四维流形存在奇数型广义复结构当且仅当其容许横截全纯的二维叶状结构，从而建立了广义复几何与四维流形拓扑的又一联系。相关结果有助于进一步研究四维拓扑及弦理论。