高维高精度超快速傅立叶变换

高维快速傅立叶变换是科学技术研究亟需的重要工具。本项目拟研究高维高精度超快速傅立叶变换及其逆变换算法，并以此为基础建立具有最优逼近阶与最佳复杂性的高维高精度超快速离散傅立叶变换及其逆变换算法。借助傅立叶基函数与正交多项式之间的转换关系，建立高维高精度超快速正交多项式展变换算法，分析该算法的复杂性与逼近阶。在以上工作的基础上，将高维高精度超快速傅立叶变换应用于高维积分方程求解，发展具有最优逼近阶与最佳复杂性的高维积分方程快速算法；将高维高精度超快速离散傅立叶变换及其逆变换算法用于计算机器学习中正则核矩阵的逆，建立快速机器学习算法。预计本项目将在三年内产生高质量的研究成果，发表一流的学术论文9-10篇。

本项目研究高维高精度快速傅立叶变换和高维快速正交多项式变换。针对低光滑度的函数和数据，我们提出了高维高精度快速傅里叶变换及其逆变换算法，该算法在不增计算量的前提下，精度优于国际上现有算法。并设计了同样具有速度快、精度高的特点的高维正交多项式变换算法，并用于求解随机偏微分方程。此外，对具有对角奇异函数我们还建立了的稀疏逼近和相应的快速傅立叶变换算法。在此基础上，建立了求解线性与非线性边界积分方程的快速算法。此外，构造了稀疏网格高维上的B样条拟插值快速算法与高维B样条快速估值算法。