分形的分解与分形分析中的奇异性质

This project seeks to use innovative methods to study the Lq-spectrum and anomalous phenomena of the Laplace and Schrödinger operators, in an effort to extend the current theory of analysis on fractals with overlaps to measures that do not satisfy second-order identities or the bounded measure type condition. Results from this project will also shed light on problems including existence of spectral gaps and validity of Einstein’s relation. This project consists of two closely related parts, namely, measure-theoretic properties and analytic properties. The first part aims to decompose a finite type self-similar measure with overlaps into countably infinitely many equivalence classes, and describe them by an infinite graph-directed system. We will also develop an infinite-dimensional Choquet-Deny theory and renewal theorem. Then use the theory to derive the Lq-spectrum and spectral dimension of a measure. The second part studies Laplace and Schrödinger operators defined by fractal measures, investigating specific problems including spectral dimension, Weyl law, Bohr's formula, heat kernel estimates, walk dimension, Einstein's relation, wave propagation speed, eigenvalue and eigenfunction estimates, and existence of spectral gaps. The main features of this project include studying both geometric and analytic properties simultaneously, and combining classical geometry, classical analysis, and analysis on fractals. Results of this research will have long-lasting impacts on understand physical properties of fractals, as well as future investigations of more general and more complicated fractal differential operators.

本项目拟用创新方法研究有重叠测度的Lq-谱及Laplace与薛定谔算子的奇异性质，把分形分析的理论拓展到有重叠且测度不满足二阶恒等式或有界测度型条件的自相似集上，同时促进谱缝隙存在性和爱因斯坦关系式成立性等问题的解决。研究内容分几何测度性质与分析性质两个密切相关部分。第一部分的目标是把自相似集依测度结构分解为可数无穷个等价类，并用无穷图递归迭代函数系刻画， 同时建立无穷维Choquet-Deny 理论和更新定理，并利用该理论推导测度的Lq-谱和谱维数。第二部分研究由测度定义的Laplace和薛定谔算子，具体问题包括谱维数、Weyl 定律、Bohr 公式、热核估计、游动维数、爱因斯坦关系式、波速、特征值与特征函数的估计、谱缝隙等。本项目具有同时研究几何与分析性质，结合经典几何、经典分析与分形分析等特色。研究结果对了解分形的物理性质，及未来研究更广泛和复杂的分形微分算子，都有较深远的意义。

本项目着重研究了分形上的谱维数、热核估计、波动速度、热方程、薛定谔方程等分析问题。利用测度分解，我们完善了对黄金分割无穷伯努利(Bernoulli)卷积和康托尔(Cantor)类卷积定义的拉普拉斯（Laplace）算子分析性质的研究，得出了非整数值游动位数、次高斯热核估计、无穷波动速度等奇异性质。对于更一般的分形测度，我们在分形拉普拉斯算子谱维数、特征值估计、热方程、非线性薛定谔方程等方面都取得了较好的成果。本项目对一些相关问题展开了研究。第一，研究了分形基本性质，得出了无穷迭代函数系吸引子的维数公式。第二，研究了完全图上的谱性质，得出了任意子图的热核展式与格林函数，该展式对应于黎曼流形上的Minakshisundaram-Pleijel 热核展式，是研究完全图上的Ricci曲率、McKean-Signer 定理、Gauss-Bonnet-陈定理等的基础。第三，探讨了黎曼流形上的自共形测度，证明了Lq-谱及拓扑熵存在性，并初步研究了自共性迭代函数系的有限型条件和弱分离性质。我们也探讨了黎曼流形上由测度定义的拉普拉斯算子的谱性质，为进一步研究黎曼流形上的分形打下了基础。第四，研究了分形自仿集，得出了由有限个自仿矩阵定义的自仿集为自仿铺砖的等价条件，并构造了密铺（tiling）集。我们也证明了一类高维自仿铺砖的球同胚性。本项目也遇到了一些尚未能解决的问题，项目主持人和合作人正在积极寻求解决方法。..本项目已发表SCIE论文10篇，已接收并线上发表SCIE论文1篇，已发表会议论文1 篇，已投稿论文7篇，尚未投稿论文3篇。召开国际性学术研讨会2次。项目主持人参加会议并作学术报告11次，多次访问了香港科技大学、哈佛大学、清华大学、中国人民大学、湘潭大学，并多次与项目参与者互访。本项目协助培养了1位博士生和2位硕士生，另有2位博士生和6位硕士生在读。