胰岛素和血糖相互作用模型与注射策略研究

With the economic development and change in people’s lifestyle, diabetes mellitus is becoming a chronic disease of high morbidity and mortality over the world, and its treatment modalities and effects have received more attention. Diabetes treatment mainly depends on the infusion of insulin and its analogues. However, as an expensive drug, the injection strategy of insulin and its analogues that affects the treatment result has increasingly brought people’s concern. The common methods of insulin infusion are manual syringe and insulin pump. A common feature of the two injection methods is that insulin and its analogues are injected into the body in a very short time, that is to say, it can be seen as an impulsive injection. So when a mathematical model is proposed, impulsive differential equation should be preferred. Based on the previous studies, this project would focus on the following three problems: (1) Construct impulsive differential equations with boundary value conditions to study the blood glucose control in finite time in the case of periodic impulsive insulin injection; (2) Construct diffusion equations with impulse conditions to study the diffusion effect of exogenous insulin in the case of periodic impulsive insulin injection; (3) Considering the artificial pancreas which is still in development and the metabolic delay of the physiological function, state impulsive differential equations with delays would be constructed to study the insulin injection strategy when the blood glucose monitor is used.

随着经济发展和生活方式的变化，糖尿病逐渐成为一种全球流行的高发病率高致死率的慢性病，它的治疗方式和治疗效果受到了越来越广泛的关注。糖尿病的治疗主要依赖胰岛素及其类似物的输入。然而作为一种昂贵的药品，影响胰岛素治疗效果的注射策略愈发引起人们的重视。胰岛素输入的常规方式是手动注射以及使用胰岛素泵。这两种方式的共性是胰岛素及其类似物被注入体内的行为都是极为短暂的，即可以理解为脉冲注射，因此在建立数学模型时，应优先考虑利用脉冲微分方程。基于已有的研究成果，本项目重点解决三个问题：（1）建立带有边值条件的脉冲微分方程，研究周期注射胰岛素情形下人体血糖的有限时间控制问题；（2）建立扩散脉冲微分方程，研究周期注射胰岛素情形下人体内外源性胰岛素的扩散效应；（3）针对研发阶段的人工胰脏以及人体代谢系统具有滞后性的生理机能，建立带有时滞的状态脉冲微分方程，研究引入血糖监测设备的情形下胰岛素的注射策略。

近些年来，糖尿病成为了全球范围内的一种流行病，越来越多地影响着人们的生活，而胰岛素泵以及研发中的人工胰脏作为糖尿病治疗中两种胰岛素的控制器，其注射模式以及相应的治疗效果引起了学者们的广泛关注。本项目以脉冲微分方程、半连续动力系统为工具模拟胰岛素泵定时脉冲注射胰岛素、人工胰脏状态反馈脉冲注射胰岛素的工作原理，研究在胰岛素治疗下糖尿病患者体内血糖和胰岛素之间的相互作用机制，确认影响血糖水平的因素，并对胰岛素的注射策略提出建议。（1）建立了胰岛素周期及不定期脉冲注射治疗的血糖有限时间控制模型，通过附加控制血糖浓度的边值条件，形成有限时间内的终端控制；通过设立目标控制函数，形成有限时间内对血糖水平的过程控制。经过分析找到了达成血糖控制目标的多个条件以及影响血糖水平的几个要素。（2）针对人工胰脏的工作原理，建立了带有三个生理时滞以及状态反馈脉冲控制的半连续动力系统，从理论上对带有时滞的半连续动力系统的解给出严格的数学定义，讨论了所构建系统中血糖浓度的持久性，利用数值分析的方法，证实在此情形下合理设置控制阈值可将血糖水平保持在人体能承受的范围内，且给出了各个时滞对血糖水平的影响。（3）建立了模拟外源性胰岛素在人体中扩散吸收过程的扩散脉冲微分方程模型，并在理论上分析了解的存在性，评估了其扩散速度。此外，项目形成了从应用研究到理论研究再到应用研究的数学方法，借助课题内容的研究推动和发展了脉冲动力系统及半连续动力系统的理论，并将项目中形成的技巧和方法应用于生物控制领域，开展了对生物资源保护和传染病控制领域的研究。