高维近可积系统共振带上全局动力学行为的研究

Research on global dynamics of high dimensional nearly-integrable systems is a difficult issue with important theoretical significance and application value. The project is devoted to the global dynamics of high dimensional nearly-integrable systems. The details are as follows:(1) For nearly integrable system, attempt to establish some sufficient conditions for the existence of single-pulse and multi-pulse homoclinic orbits of systems and present the criteria of global bifurcations and chaos under weaker assumptions. Furthermore, try to extend the exsitence theory to the systems with non-Hamilton perturbation. (2) For the systems with Hamilton perturbation or dissipative perturbations, analyze the existence of the single-pulse and multi-pulse homoclinic orbits which are composed of alternating slow and fast pieces and establish the conditions for the existence of Smale horseshoe chaos. The project will provide theoretical support to the analysis and design of practical systems.

高维近可积系统共振带上的全局动力学行为研究是一个难点问题，具有重要的理论意义和应用价值。本项目旨在研究高维近可积系统共振带上的全局动力学行为，包括以下两个方面：(1) 对近可积系统，简化其快速进入和离开慢流形的单脉冲、多脉冲同宿轨存在性相关结果中的某些假设条件，尝试将摄动Hamilton系统单脉冲、多脉冲同宿轨的存在性理论推广到非Hamilton摄动情形，建立高维系统全局分岔及混沌的判定准则。(2)对受Hamilton摄动或耗散摄动的可积系统，研究其交替分布在快慢流形之上的单脉冲和多脉冲同宿轨及异宿轨的存在性，揭示它们精细的几何结构，并尝试建立回归映射，得到系统存在Smale马蹄混沌的解析条件。拟通过本项目的研究，为实际系统的分析设计和参数优化提供一定的理论基础。

高维非线性系统的全局分岔和混沌动力学是目前非线性动力学领域的前沿课题。由于高维系统的理论研究存在很多实质上的困难，以至大多数理论研究成果限于低维系统。本项目主要研究高维近可积系统共振带上的全局动力学行为。除此之外，还研究了高维非线性系统的模态分岔和非线性动力学系统的可控性。研究工作集中在以下四个方面：. （1）高维非线性近可积系统共振带上的全局动力学行为研究。利用几何奇异摄动理论及Melnikov方法，从理论上得到了二自由度受周期激励的浅拱模型在共振带上的同宿轨道和异宿轨道的存在性条件并揭示了同宿轨道和异宿轨道的几何结构，它们是交替分布在系统的快慢流形之上的。我们将系统在Hamilton摄动下的单脉冲、多脉冲同宿轨道的存在性理论推广运用到了非Hamilton摄动情形，并得到系统存在Smale马蹄混沌。. （2）高维非线性系统的模态分岔和动力学行为研究。利用中心流形定理、正规形和分岔理论等工具，研究了复合材料层合矩形板模型的模态分岔和动力学行为，得到了特征值随参数变化的演化规律、系统发生Hopf分岔的临界曲线及二维胎面产生的临界曲线，并利用系统参数给出了这些临界曲线的解析表达式。. （3）具有不确定参数和非线性结构的系统的动力学行为的控制研究。利用自适应控制方法，构造了一个新颖的自适应更新律，在该控制律的作用下，具有时滞影响的主从驱动的非线性动力学系统达到了鲁棒指数同步。数值仿真表明我们提供的方法是非常有效的。. （4）非线性动力学系统的可控性分析。研究了时变切换脉冲滞后系统的两类可控性，得到了系统到原点可控与可控性的低保守的充分、必要条件，给出了这两类可控性之间的关系。. 依托本项目，课题组在《Nonlinear Dynamics》, 《ISA Transactions》和《Applied Mathematics and Computation》杂志上发表学术论文3篇，并被SCI收录。国际学术会议论文1篇且被EI收录。