图和超图的若干Turan型问题的研究

Turan theory is an active area of research within graph theory. It has many applications in other areas including theoretical computer science and coding theory. The study of determining the extreme values of the sums of degree powders or function values of the degrees in a graph without some specific subgraphs are generalizations of Turan numbers, which are introduced by Caro, Yuster and Pikhurko et al., and has attracted the interests of Bollobas and many other researchers. The study of Turan numbers of some special hypergraphs is a hot topic in graph theory, many famous researchers have studied deeply on this problem. Meanwhile, the study of Turan-type problems in random hypergraphs is a combination of Turan theory and stochastic theory. It is another generalization of Turan problems. This kind of problems has attracted attention from many leading researchers including Spencer, Simonovits et al.. . The project aims to study the extreme values of the sums of degree powders or function values of the degrees of an n-ordered graph without some specific subgraphs; find the Turan numbers of a k-uniform tight cycle and the collection of k-uniform tight cycles and investigate the structure of the extremal hypergraphs; study the Turan-type problems of a k-uniform random hypergraph without the generalized triangles to extend the result of the Turan number of a generalized triangle. This research area has arose great interests of the scholars, and will surely set off a new upsurge.

Turan理论是图论中一个重要的研究课题，它在离散几何、计算机科学和编码学等领域有着广泛应用。为推广经典的Turan问题，Caro、Yuster及Pikhurko等人提出了顶点度的幂和及顶点度的函数和在限制子图条件下的极值问题，受到Bollobas等学者的关注。特殊超图图类的Turan数及极图的刻画也是Turan理论的研究热点，许多知名学者研究过这类问题。此外，随机超图中的Turan问题将Turan理论与随机理论相结合，是经典Turan问题的另一推广，已得到Spencer、Simonovits等著名学者的关注和重视。. 本项目旨在研究特殊子图条件下n-阶图的度幂和及度函数和的极值问题；给出k-一致紧圈和紧圈集合的Turan数，刻画极图结构；研究k-一致随机超图中广义三角形的Turan问题，推广广义三角形Turan数的相关结果。以上问题已受到众多学者的关注，必将引起更大的研究热潮。

极值图论问题是图论中一个重要的研究课题，它在离散几何、分析学、计算机科学和编码学等领域都有着广泛的应用。Turan理论作为极值图论中的重要研究方向，其相关研究得到了许多知名学者的关注和重视。对给定的 k-一致超图H（ k ≥ 2），定义H的Turan数ex(n,H) 为不包含H的n-阶k-一致超图所具有的最大边数。Turan理论研究的内容之一即是对给定的限制子图H，确定或估计其Turan数并刻画相应的极图。除此之外，Turan理论还包括了对Turan数的推广问题的研究。. 本项目研究了一些特殊超图的Turan数。对于超图中的紧路，已有学者研究过不含一条紧路的超图所具有的最大边数的上下界。 Gyori 等人考虑了紧路的 Turan 数，并给出了 k-一致超图中不含长为l的紧路的极值图，其边数满足的上下界。我们研究了多条不交紧路的Turan数的上下界，改进和推广了Gyori 等人给出的结果。同时，我们的结果所给出的下界，要优于 Gyori 等人给出的结果。. 与Turan数密切相关的一类极值问题就是超图的anti-Ramsey数问题。一般图上的anti-Ramsey数问题受到了包括Erdos在内的很多数学家的关注。并且anti-Ramsey数的上下界都是用Turan数刻画的。超图的anti-Ramsey数的研究成果远没有一般图上的丰富。我们研究了超图中的线性路、极小路、Berge路以及线性圈、极小圈、Berge圈的anti-Ramsey数问题。证明了在顶点数充分大时，线性路、极小路、线性圈和极小圈的anti-Ramsey数的值刚好达到anti-Ramsey数的一个广泛应用的下界。同时对于长度比较短的路，我们对顶点数目比较小的时候，同样给出了其anti-Ramsey数的具体表达式。对于Berge路和Berge圈，虽然其Turan数的结果并没有得到，但是我们依然刻画了Berge路和Berge圈的anti-Ramsey数的上下界。