两类非马氏保险模型下的最优问题以及公司合并问题

In this project, we will apply stochastic process、stochastic control、stochastic analysis to insurance and optimal problems under renewal and fractional Brownian motion with jump risk models and optimal problem about merge of companies. By using some thoeries such as viscosity solutino of HJB equation, fractional intergral and derivative, stochastic differential equation（SDE）, maximum principle, we are trying to solve optimal investment、dividend and reinsurance problems under renewal risk model， and prove the exsitence and uniqueness of solution of SDE driven by fractional Brownian motion with poisson point processes and solve ruin problem and linear quadratic control problems under this model. We will also try to find optimal merger time and optimal dividend strategy under the criterion of maximizing the expected discounted dividend payments by optimal stopping, quasi-variational inequalities and game theory. All of problems in this project are difficult, especially optimal problems in renewal model are open problems for a long time. The project involves some study on theory such as viscosity solution、SDE、 Ito formula。 Hence， the project will not only enrich the content of insurance but also promote the development of the others fields such as stochastic control and stochastic analysis。

本项目拟利用随机过程、随机控制、随机分析等理论研究两类非马氏更新和带跳分数布朗运动风险模型下的保险和最优问题，以及扩散风险模型下的公司合并问题。通过 HJB方程粘性解、分数积分和导数、随机微分方程、最大值原则等理论解决更新模型下的最优投资、分红和再保险问题以及受分数布朗运动和泊松点过程驱动的随机微分方程的解的存在唯一性和此模型下的破产概率和线性二次规划问题。另外我们也将尝试利用最优停时、拟变分不等式和博弈论等理论给出公司合并的最优时间和最优分红策略。该项目研究的问题都是保险理论中的难点问题, 尤其更新风险模型下的最优问题一直以来都是保险理论中的难点。本项目同时也将涉及很多理论方面的研究例如粘性解、随机微分方程、Ito公式等，因此本项目的研究不仅能推动保险理论的发展，同时也将促进随机控制、随机分析等其它理论的发展。

基本完成了项目计划书中的三个研究内容即更新风险模型下的最优问题、带跳分数布朗运动风险模型下的保险问题以及两个公司的合并问题。除此之外，我们还还考虑了扩散风险模型下最小化到达一个目标的期望时间和带利率的最优控制问题以及在需求模型中包含跳扩散和非线性动态的最优存货控制问题。在国内外重要学术刊物发表论文7篇,发表杂志包括 “Annals of Applied Probability” SIAM Journal of control and optimization"“Bernoulli”“Applied Mathematics & Optimization” “J Ind. Manag. Optim.” “中国科学”。其中主要的创新成果及其科学价值如下：.　 １更新风险模型下的最优投资和分红问题。(i)值函数的连续性。由于初始余额x和初始寿命w对于破产时间的影响，即使在没有任何控制变量下都没有任何研究性成果，所以，很难知道它在我们当前模型下对值函数的影响，这就直接造成了对于证明值函数的连续性的极大困难。对此，我们分成三步进行了证明。(ii)论文证明了值函数是HJB方程唯一的带限制的粘性解。证明过程中，涉及到了构造各种函数，还有如何从边界点“拉回”到内部等各种方法技巧。 .　　２我们考虑在需求模型中包含跳扩散和非线性动态的最优存货控制。 扩展了早先由Benkherouf and Johnson [Math. Methods Oper. Res., 76 (2012), pp. 377-393] 提出的一般跳过程的库存模型. 但是，我们可以看到他们的技术并不适用于带漂移的跳扩散模型。 因此，包含一般复合泊松过程和扩散过程的模型尚未完全解决。通过动态规划原则，，我们将上述问题转化为一组拟变分不等式（Q.V.I.）。主要的困难在于拟变分不等式中同时包含了二阶导数和积分项。 我们通过构造一组耦合辅助函数。 然后，最终给出了（s; S）政策的存在唯一性。.　　３两个公司的合并问题。　最终得到的最优策略为: 情形1下不可能合并, 两个公司分别采取最有利于自己的分红策略; 情形2下, 整个区域被分成3部分U1、U2 和U3, 最优策略取决于两公司的盈余落在哪个区域.若落在区域U1, 最优策略同情形1; 若落在区域U3, 两公司马上合并, 合并后的公司采取它的最优分红策略; 若落在区域U2