图的谱极值理论

The spectral extremal theory of graphs is developing quickly in recent years, which is a cross research area among algebra, probability, geometry, graph theory and combinatorics. The spectral extremal theory of graphs mainly use the spectra and eigenspace of nonnegative matrices (including adjacent matrix, signless Laplacian matrix, distance matrix) and M-matrices (including Laplacian matrix, normalized Laplacian matrix) which are related with graphs to build the relations with the structure of graphs. This project has two main research contents: First, study the extremal values and the corresponding extremal graphs which do not contain a graph or a class of graphs and introduce new parameter of graphs to extend the spectral extremal results; Second, study the spectral stability of graphs, form combinatorics formulas between spectra and structure parameters of graphs to study the spectral stability of digraphs. The research results of this project contain building some internal relations between the spectral theory of graphs and the extremal theory of graphs, and using the results getting from the spectral extremal theory of graphs extends or enhances the results of the extremal theory of graphs, moreover, enrich and extend the contents and methods of the spectral theory of graphs.

图的谱极值理论是最近十几年兴起的图（超图）的极值理论的一个重要研究分支，它是集代数、概率、几何、图论和组合等方法于一体的交叉研究领域。图的谱极值理论主要是利用与图相关的非负矩阵（如邻接矩阵、无符号拉普拉斯矩阵、距离矩阵）及M-矩阵（如拉普拉斯矩阵、规范化拉普拉斯矩阵）的谱和特征空间来研究与图自身的拓扑结构之间的内在关联。本项目主要研究内容如下：一，研究不含某个图或某个图类的图中图的谱极值并刻画极值所对应的极值图，引进新的拓扑结构参数以拓展图的谱极值定理的成果；二，研究图的谱稳定性，即当谱极值做微小的扰动时图的结构的变化规律，特别是建立有向图的谱与其结构参数之间的组合关系式，进而研究有向图中谱Turan定理的稳定性。本项目的研究成果包含建立谱图理论和图的极值理论之间的一些内在关系，利用图的谱极值理论的成果拓展或加深图的极值理论的成果，同时丰富和发展图的谱理论的研究内容和方法。

图的谱极值理论是最近十几年兴起的图（超图）的极值理论的一个重要研究分支，我们主要利用了代数、图论和组合等方法来研究了与图相关的邻接矩阵和与超图相关的张量的谱及与图的谱紧密相关的一些指数。本项目主要研究内容如下：一研究了不含r+1个顶点的完全图，含有h个r个顶点的完全图的图类中图的谱半径和团的数目的极大值及对应的极值图。二在超图的研究中，我们一般化了一个在矩阵中很有用的等同划分定理，利用该结果解决了一般化幂超图的谱变化规律。三在图的Steiner维纳指数研究中，我们研究了图的逆Steiner维纳指数问题。四在与树相关的极值问题中，我们研究了给定度序列的树中，图的闭途径的数目按优超偏序的极大元；同时还研究树中的外围维纳指数等问题。本项目的研究成果丰富和发展图的谱理论的研究内容和方法。