三维流形的本质曲面和纽结理论的应用

In this project, we study the properties of essential surfaces of 3-manifolds and applications of knot theory in DNA model and planar graphs. By using combinatorial techniques and methods in 3-manifolds, we study the exitence of essential surfaces. We give a complete classification of closed incompressible surfaces in the corresponding 3-manifolds, and study the genus of the bounded surface sum of 3-manifolds by the form of existence and properties of closed incompressible surfaces in 3-manifolds. Then we generalize the additivity of the genera of the bounded surface sum of 3-manifolds, and estimate the tunnel number of certain knots. We study the properties of annulus sum of 3-manifolds. So, give the properties of minimal Heegaard splitting of 3-manifold. Meantime, we research properties of DNA recombination and coloring planar graphs by using the properties of knot. We construct a new system of tangle equations and give new method to solve the system. So, one can determine mathematics model of DNA recombination. Give the moves of planar graphs, we deal with invariant properties of coloring graphs by using properties of knot polynomial and triangulations.

本项目主要研究三维流形中本质曲面的性质和纽结理论在DNA模型和平面图着色中的应用。利用三维流形组合方面的技巧和方法研究本质曲面的存在性等，研究某些三维流形中闭的不可压缩曲面的性质，给出相应三维流形中闭的不可压缩曲面的完全分类，将三维流形中闭的不可压缩曲面的存在形式和性质应用到确定三维流形带边曲面和亏格的研究中去。把三维流形带边曲面和具有亏格可加性推广到一般情形的，给出某些纽结补空间隧道数的估计，研究三维流形的平环和的性质。从而研究三维流形的Heegaard分解的性质。利用流形的Heegaard距离的性质来研究三维流形的极小Heegaard分解的性质。利用纽结的性质研究DNA模型重组和平面图着色的性质，构造一组新的缠绕方程系统，并给出这些新的系统的解法，从而确定DNA模型从组后的数学模型；给出平面图的变换，利用纽结多项式和三角剖分的性质研究着色的不变性质。

三维流形的核心研究问题之一就是分类，而对不可压缩全面的研究有利于研究三维流形的结构，推进三维流形的研究，由纽结与三维流形的内在联系，很多三维流形的问题可以转化为纽结理论的问题。本项目主要研究主要包括三个方面：一是三维流形中本质曲面的性质；二是纽结不变量的研究；三是纽结理论的应用。. 1、三维流形方面的研究。我们主要研究了研究弱可约Heegaard分解的可约把柄添加问题。证明了弱可约keen Heegaard分解的可约曲线直径有界的充分条件，并且给出了弱可约Heegaard分解的可约曲线直径的上界。利用三维流形组合方面的技巧和方法研究某些三维流形中闭的不可压缩曲面的性质，给出相应三维流形中闭的不可压缩曲面的完全分类，将三维流形中闭的不可压缩曲面的存在形式和性质应用到确定三维流形带边曲面和亏格的研究中去。.2、纽结不变量的研究。主要研究了纽结投影图棒数的性质和纽结多项式零点的性质。通过整数缠绕的棒表示与排叉链环对应的整数绕连通和分解给出排叉链环的一类多边形表示，对排叉链环的棍棒数进行估计.设$K$是一个排叉结，$P_{c_1,c_2,....c_m}是$K$的一个投影图，其中c_i(1<i<m)$同号，则$s(K)<c(K)+3$.研究了链环和纽结的Jones多项式性质以及零点分布性质．利用的Jones多项式的某些性质，研究了环面纽结多项式的性质和它们多项式根的性质，证明了：当$n<9$,时，单位根$e^{(2p+1/n\pai_i})$不是环面结$T_{p,q}$（其中$(p,q)=1$）的琼斯多项式的零点.这些性质的研究将有利于研究整系数多项式与纽结多项式之间的关系..3、纽结理论在生物DNA分子重组中的应用。研究了下列缠绕方程组解的性质：$N(S)=K_0,N(S+M)=K_1,N(S+M+M)=K_2,N(S+M+M+M)=K_3$.通过控制变量的方法，将某个$K_{i}(i-1,2,3)$的向量表示中的元素换成变量，研究变量在满足何条件时，该缠绕方程组系统有唯一解，从而找出其他$K_i$满足该缠绕方程组系统并使该缠绕方程组只有一个解.此时这个缠绕方程组系统得到了很好的应用，相当于通过对一个DNA分子在酶作用下拓扑结构改变的研究，得到了另外一个DNA分子或多个DNA分子在酶促反应下进行$n$次连续的特异性位点重组时拓扑结构的变化。