幂零李群上的某些函数空间和多线性算子

Harmonic analysis on nilpotent Lie groups is one of the main branch of Abstract Harmonic Analysis.It plays an important role in Geometry Analysis,Nonlinear Analysis,Representation Theory,Quantum Mechanics,Partial Differential Equations etc..In this project,we will study some variable exponent function spaces, some multilinear operators, and their applications. We will define and characterize the variable Hardy spaces and Besov spaces on some nilpotent Lie groups; On the Heisenberg group, quaternion Heisenberg group or general Heisenberg type groups (the dimension of their center is bigger than 1), we will show the boundedness properties of bilinear spectral multipliers; study the boundedness of mutilinear singular operators,the interpolation theory, and the relationship between these two kinds of multilinear operators; we will study the boundedness of paraproducts and the properties of the kernel of the paraproducts.etc.; furthermore we will generalize some results to general nilpotent Lie groups, and present some applications.

幂零李群上的调和分析是抽象调和分析的主要分支之一，在几何分析、非线性分析、表示论、量子力学、偏微分方程等许多领域发挥着重大的作用。本项目中，我们将在幂零李群上研究某些变指标的函数空间和多线性算子，并进一步探讨它们的应用。我们将在某些幂零李群上定义变指标的Hardy空间、Besov空间等，给出它们的刻画；研究海森堡群和四元数海森堡群或一般的海森堡型群（中心维数大于1）上的双线性谱乘子的有界性，多线性奇异积分算子的有界性，插值理论等，探讨这两类多线性算子之间的关系；研究海森堡型群上的仿积算子在所得函数空间上的有界性、核函数的性质等；并进一步把某些结果推行到一般的幂零李群上。探讨所得结果的应用。

本项目重点研究了幂零李群上某些重要函数空间和多线性算子等一些调和分析中的重要问题。我们在这些方面做了一些开拓性的工作。具体来说我们完成了以下几部分研究内容： . 幂零李群上的变指标函数空间。 我们刻画了变指标Hardy空间、变指标Besov空间和Triebel-Lizorkin空间、非齐次变指标Lipschitz空间、各向异性的Musielak-Orliz Hardy空间，并给出了一些重要性质。这些空间的研究是调和分析理论的重要组成部分，是我们后续多种算子的研究所需要的重要理论基础。. 幂零李群上重要的多线性算子。我们做了很多开拓性的研究工作，例如研究了多线性谱乘子、多线性多参数谱乘子、双线性面积谱乘子及其交换子、研究了四元数海森堡群上波方程的解的色散估计和Strichartz估计，研究了群上的仿积算子、Calderón-Zygmund算子、广义Littlewood–Paley g-函数、与四元数Fourier变换相结合的多线性局部化算子、Littlewood-Paley算子、多线性gψ,λ*函数等重要的算子，得到了算子有界性、紧性、向量值不等式等重要结论。这方面的研究很好地拓展了群上的多线性算子理论。. 双线性 Fourier 乘子以及多线性交换子等算子有界性问题。得到了这些算子在不同的函数空间以及变指标函数空间中的有界性，我们对变指标函数空间的研究极大地促进了这方面的研究工作。. 关于小波变换的研究。在Sp（2，R）辛群上，Iwasawa子群可以实现为管形域，我们在其Shilov边界上讨论了连续小波变换理论。首次定义量子窗口Fourier变换并研究了量子小波变换，证明了很多重要的性质并给出了量子实现线路。研究了多种“超小波”变换等。小波理论本身具有着重要的实际应用价值，我们研究的多种实用的新型小波，进一步丰富了这方面的成果。. Heisenberg群及H型群上的Hardy不等式、Radon变换。在Heisenberg群和H型群上我们对Hardy不等式、Radon变换方面也做了大量的研究工作。我们在幂零李群上的研究，扩大了其适用范围。. 综上所述，在本项目中，我们在幂零李群上研究了这些变指标的函数空间和多线性算子，所取得的成果将进一步丰富和发展幂零李群上的调和分析。