关于流体力学边界层中的一些问题

There are many important problems arose from fluid mechanics equations in mathematical study. In recent year, there are more and more people are interested in the study of the boundary layer problems. We shall focus on the study of existence, uniequness and stability of the solution of incompressible Prandtl's system in boundary layer problem from fluid mechanics. These studies are related to the theoretical verification of boundary layer equations proposed from the physical model and providing some conditions and restrictions where the equation works on. More precisely, for the two dimensional incompressible Prandtl's system, when the initial data is in the monotone class, we shall study the zero viscosity limit problem, namely, when the viscosity goes to zero, the limit problem from the solution of Navier-Stokes equation to the solution of Euler equatoin in half space with the presence of boundary layer, which needs to overcome the difficulty of multiscale interactions in the limiting process; when the initial worticity changes sign, we shall study the lcoal existence problem of incompressible Prandtl's system by finding some suitable criteria and some conditions to ensure the local existence, which needs to overcome the difficulty of degeneracy of the equation in obtaining the a priori estimates. These studies are helpful to the further theoretical understanding of Prandtl's boundary layer theory and providing some important mathematical references to engineering applications.

流体力学方程给数学研究提出许多重要的问题，边界层问题的理论研究越来越引起人们的关注。我们将研究不可压流体力学边界层问题中Prandtl方程组解的存在性、唯一性及稳定性方面的问题。这涉及到从数学理论上证明物理模型中提出的边界层方程的合理性并给出其适用的范围。具体地讲，我们对于二维Prandtl方程组，初始值在单调类时，研究粘性消失时解的适定性问题，即在半空间上，当粘性趋于零时，研究Navier-Stokes方程解到Euler方程的解在边界层存在时的极限问题，这里需要克服极限过程中不同尺度的相互作用所带来的困难；在初始值涡度变号时，研究不可压流体力学边界层问题中Prandtl方程组解的局部存在性问题，通过寻找一些合适的判别准则，给出边界层方程解存在的条件，这里需要克服方程退化所造成解的先验估计的困难。 这些问题的研究将有助于人们对边界层问题在理论上进一步的理解，并对工程应用提供一些重要应用。

我们的项目主要围绕着与流体力学方程相关的问题开展工作， 首先对于线性抛物方程及对应的椭圆方程解的性质做进一步的研究，关心的问题是某些解集合的分类问题，这里有著名的 Landis-Oleinik猜想，它是描述某一时刻解具有一定的衰减性时是否就是恒为零解，这是关于解的某种刚性问题，它的研究对于理解一般发展方程的解的正则性及唯一性具有重要的意义；另一方面我们研究了具有某种连续性的不可压流体力学方程的弱解的存在性，这一问题与从数学上理解湍流密切相关，近年来这种解的构造，对于不可压Euler方程已是国际上一个热门的研究问题，这类解是利用局部快速震荡的解叠加而构造出来的，解是HOLDER连续的并具有某种能量耗散的性质，这些解的特殊结构与某些湍流现象接近，是非常有意义的问题，我们在已有的不可压Euler方程结果的基础上，研究了带有温度场之后的相关问题，构造出具有类似性质的解，并从数学上显示出这类系统能量从热能到动能的转化，同时我们也证明了这类弱解的某种不唯一性。我们通过建立一般的表示定理和新的局部震荡解的构造，推广了有关的不可压欧拉方程的结果，构造了具有某种耗散性质的弱解，这种弱解可以满足预订的能量曲线，可以显示能量从温度向速度场的转化；同时也可以构造具有紧支集的连续弱解。