基于贝叶斯-Copula理论的高维离散变量相依性研究

With the enrichment of the discrete variables in various fields, its association studies have been a hot research topic and achieved certain results, however, there is still a lack of strict and effective measure for the associations among the high-dimensional discrete variables. As such, we first expand discrete variables to continuous variables in order to model the associations among the high-dimensional multivariate based on Copula. Then we propose a modeling paradigm including modeling, estimation and test procedures. Bayesian method is introduced to estimate model parameters since traditional estimation procedures are too slow. Finally the proposed method is used to explore the claim count dependency of Chinese auto insurances, which demonstrates the feasibility and applicability of our proposal. When modeling individual discrete variables, we allow for "Zero-inflation" and over-dispersion simultaneously. We find that the traditional Bayesian model estimators (e.g. Gibbs Sampling) still suffers the computation bottleneck when it comes to high-dimensional problems. Therefore, we introduce a more efficient simulation algorithm: Contrastive Divergence, which will extend the application territories of high-dimensional discrete copula and complement the existing statistical analysis for multivariate data. The empirical analysis demonstrates a perfect combination of statistical theory and application, then further improves the multivariate statistical analysis.

随着离散变量在各领域的不断丰富，其相依性的度量已成为众多学者关注的热点并取得了一定的研究成果，但是对于高维离散变量的相依性目前仍然缺乏严格有效的度量方法。为此，本课题首先通过连续拓展将离散变量转化为连续变量以简化高维离散变量相依性的研究过程；进而构建高维离散Copula模型来度量连续化后变量的相依性，并引入贝叶斯理论进行模型参数估计以解决传统方法导致的计算量庞大问题；最后运用我国车险投保人的理赔数据来检验所建模型的可行性和实用性。本研究的创新在于：兼顾单离散变量的“零膨胀”现象和过度离散现象构建高维离散Copula模型；引入Contrastive Divergence快速仿真算法拓展高维离散Copula模型的应用场景，从而突破传统贝叶斯方法（如，Gibbs Sampling）在高维数据应用上面临的计算瓶颈；借助实证分析实现理论与实际相结合，进一步丰富和完善我国的多元统计分析方法。

根据课题研究计划，本研究首先借助连续拓展将Denuit和Lambert（2005）方法实现了离散变量的连续拓展，然后借助Copula理论构建了一个离散Copula 模型，接着基于传统贝叶斯实现了离散Copula模型的估计，最后将模型实际用于分析新加坡通用保险公司汽车保险投资组合中的索赔数据。该研究为Copula理论在精算领域中的应用开辟了先例。. 本课题研究还实现了Copula理论和纵向数据（或者多元时间序列）中的GARCH模型的完美衔接。将Copula 函数和GARCH 模型相结合，构建Copula-aDCC-GARCH 模型，研究沪、深、港、美市场之间的动态“非线性”相依结构。研究结果表明，基于Copula理论和GARCH模型上的时间序列相依性分析能充分拟合多个变量间动态、非线性、非对称性的相依关系，弥补了单独用GARCH模型拟合市场联动性时存在的不足和缺陷。同时，基于Copula的aDCC-CGARCH模型我们实证分析了中国股票市场与外汇市场之间的联系。结果发现不管是股市还是汇市，其短期波动率的持续性明显小于长期波动率的持续性，并且永久性成分的时间依赖性运动的驱动因素并不显著，且与其他时期相比2007-2009年全球金融危机期间时市场的依赖结构变化更为突出。. 此外，我们还研究了高维变量回归的稳健估计问题。基于样条分位数回归本课题提出了一种可加性模型的稳健估计法，此估计方法不仅能避免高维回归中常见的“维度灾祸”问题，还能很好地抵抗数据中存在的异常值的影响。因此这将对已有估计方法起到进一步的完善和补充作用。. 总之，本课题的研究成果将为多元离散变量相依性理论发展提供新方法和新思路。这不仅将进一步丰富Copula 的理论和方法，还将推广Copula 模型的实际应用范围。