受控过程的随机动态规划

The project is to study mixed optimal control and differential games of non-Markovian stochastic systems, systems of quadratic BSDEs, and their applications in mathematical finance. We first define suitably the value (or upper and lower value) process corresponding to the optimal control problem (or stochastic differential game), prove that they satisfy the stochastic dynamic programming principle (SDPP), and show that they have proper regularities in the time variable, space variable, and the sample variable, so that we can use the Ito-Wentzell formula to verify that they satisfy the associated backward Bellman equation or the associated backward Bellman-Isaacs equation. For concrete financial applied problems, we apply combined theories of partial differential equations and stochastic control to discuss the existence and uniqueness, regularity, and concavity/convexity of the solution to the backward stochastic Bellman or Bellan-Isaacs equation; the construction, convergence and error estimates of their discrete algorithm; and the reverse problem of the Bellman equation. We also study the strong or weak solution of periodic stochastic systems, their optimal control, and their feedback stabilization. Finally, we study the potential theory, statistical inference and their applications to several financial problems.

本项目研究随机系统包括非马氏系统的混合随机控制与微分对策，二次倒向随机微分方程组及其在金融数学中的应用。先适当定义相应于随机最优控制问题（或随机微分对策）的值过程（或上、下值过程），证明它们满足相应的动态规划原理，并进一步证明它们关于时间变元、空间变元以及样本变元有足够好的正则性质，以可以用Ito-Wentzell公式可以验证它们满足相应的倒向随机Bellman方程或倒向随机Bellman-Isaacs方程。 对具体的金融应用问题，运用偏微分方程方法和随机控制理论，讨论倒向随机Bellman方程或倒向随机Bellman-Isaacs方程解的存在唯一性、正则性、凹凸性等定性性质，讨论解的离散格式的构造、收敛性和误差估计，研究Bellman 方程的反问题。研究随机周期系统的强解和弱解的存在性，它们的最优控制以及反馈稳定性质。还将研究Skew过程的位势理论、统计推断以及它们在金融中的若干应用。

本项目研究随机系统的混合随机控制与微分对策，二次倒向随机微分方程组、Skew过程理论、统计推断及其在金融数学中的应用。 对具体的金融应用问题，讨论Bellman方程解的存在唯一性和正则性等。本项目组成员发表30多篇学术论文， 取得以下进展与成果：.1.建立了二次遍历倒向随机微分方程组的可解性理论，用它来描述投资者的模式转换的正向效用过程、刻画投资者的证券组合最优策略， 也用它给出了关于梯度二次增长的抛物方程组的渐近行为。 对二次倒向随机抛物型方程和二次倒向随机微分方程以及时空白噪声驱动的非线性倒向随机发展方程建立了新的可解性理论。建立了随机偏微分方程的间断有限元逼近的数值收敛性。 .2.用随机控制理论求解了金融数学中的投资、定价和养老金等若干问题。.3.提出和研究了粘性反射扩散过程和粘性反射双指数跳扩散过程，得到了过程的时变regulator与过程局部时的显式解析表达式，考虑了一般系数下粘性反射跳过程的首达时问题。用粘性双指数跳扩散过程描述资产价格，可捕捉价格的粘性特征，在结构化信用风险模型下，得到了违约时Laplace变换的显式表达式。