点云曲面重建中多元样条几何迭代方法的加速研究及应用

Surface reconstruction from point cloud data is a fundamental problem in computational geometry, which can be applied to many areas such as reverse engineering, Computer Aided Geometric Design (CAGD) and Computer Aided Manufacture (CAM). Compared with the traditional method of surface reconstruction, geometric iterative methods have received a great deal of attention, which do not require to solve the optimization model or a linear system of equations and is easy to impose additional geometric constraints or local modifications. It is especially suitable for surface reconstruction from large scale point cloud data. However, its convergence rate depends critically on the spectral radius of the corresponding iterative matrix. It has become an important problem to be solved urgently how to improve the convergence rate of geometric iterative methods. We have also made some preliminary results. This project aims to carry out the acceleration research of geometric iterative method with multivariate spline for improving its convergence rate and focuses mainly on (1) the study on the acceleration of geometric iterative method with multivariate spline based on the parameter correction of data points. (2) the study on the acceleration of geometric iterative method with multivariate spline based on the construction of reasonable weight vector and efficient update formula of control points; (3) the study on the relation between the quasi-interpolation operator formed by the multivariate spline basis functions and the distribution of knot vector. This project will provide the support in the theory, method and technology for the construction and application of geometric iterative method with fast convergence rate.

点云曲面重建是计算几何中的一个基本问题，可用于逆向工程、计算机辅助几何设计和计算机辅助制造等领域. 相比于传统的曲面重建技术，几何迭代方法不需要求解最优化模型或线性方程组而且易于施加额外的几何约束或局部修改，尤其适用于大规模点云曲面重建问题，因此获得广泛的关注. 但其收敛速度严重依赖于相应迭代矩阵的谱半径. 如何提升几何迭代法的收敛速度已成为一个亟待解决的重要问题. 对此我们也取得了一些初步成果. 本项目拟在这些成果基础上，针对几何迭代法收敛速度较慢的问题，开展多元样条几何迭代的加速研究. 重点关注: （1）研究数据点参数值的修正更新来加速多元样条几何迭代的收敛；（2）研究构造合适的权向量和控制顶点更新格式来加速多元样条几何迭代的收敛；（3）研究多元样条基函数形成拟插值算子的特征结构与节点向量分布的联系；本项目的开展将为几何迭代法的快速收敛格式的构造和应用提供理论、方法和技术支持.

支持向量机是一种卓越的基于统计学习理论的最大间隔学习范式。得益于其优越的泛化性能，它已经成为机器学习领域中强有力的工具，并广泛应用于数据分类、回归和支持向量序回归等问题。 本课题基于支持向量机针对带噪声数据的鲁棒分类方法和有界支持向量顺序回归机的研究，并取得了初步研究成果。.（1）通过定义光滑的pinball损失函数，构造用于鲁棒分类的光滑的pinball损失非平行支持向量学习机(SpinNSVM)。得益于光滑pinball损失函数的特性，使得形成的模型为易于求解的凸优化模型，且该模型对噪声数据不敏感，尤其是位于分布边界附近的样本数据。.（2）提出一种新的非平行稀疏投影支持向量机(NPrSVM), 其目标是在一个不敏感的带中尽可能多的聚集数据，得益于L1范数对称铰链损失函数，使得NPrSVM具有稀疏性、对异常值的鲁棒性和对偶问题形式中不再涉及训练过程逆矩阵的计算；易于设计高效的求解算法。.（3）基于投影双子支持向量机提出一种新的非平行分类机(nu-PTSVM), 其思想是为每个类寻找一个最佳投影方向，使得同类实例尽可能聚集在该类中心周围。通过引入一个理论上合理的参数nu,用于控制支持向量和间隔误差实例的比例，在对偶问题中不再涉及耗时的矩阵求逆且该模型在线性和非线性形式上具有一致性。.（4） 为了刻画数据集的特征分布信息，提出一种有界支持向量顺序回归机。同时，基于贝叶斯准则的后验概率输出模型得到有界支持向量顺序回归机的概率输出结果，使得模型对有序数据的分类不仅具有定性的解释而且具有定量的评价。最后，用于预测股票指数数据，数值结果显示该方法的可行性和有效性。