紧致复流形的局部稳定性与复幂零流形形变的研究

The project plans to use the power series methods to prove the local stability of compact p-Kahler manifolds of complex dimension n, where the (p,p+1)-th mild ddbar lemma holds, for a positive integer p from 1 to n-1. It will unify the theorems of the local stabilities of compact Kahler manifolds, balanced manifolds satisfying the (n-1,n)-th mild ddbar lemma and p-Kahler ddbar manifolds. This is a sequel to a question proposed by Kodaira. .The study of compact complex nilmanifolds in non-Kahler geometry will provide many examples for the (p,p+1)-th mild ddbar lemma. Hence, the project plans to study the finiteness of the Kuranishi's power series of sufficiently general nilmanifolds. The upper bounds and their relation with the nilpotent step and the complex dimension will also be investigated. This is a question proposed by Rollenske. Besides, the project will study the conjecture that the Dolbeault cohomology of a complex nilmanifold is isomorphic with the one of its left-invariant complex valued differential forms.

本项目拟用幂级数构造法研究满足(p,p+1)-温和ddbar引理的紧致复n维p-凯乐流形的局部稳定性，其中p是1到n-1之间的正整数。它将会统一紧致凯乐流形、满足(n-1,n)-温和ddbar引理的平衡流形及p-凯乐ddbar流形的局部稳定性定理。这是Kodaira的一个问题的延伸。.非凯乐几何中的紧致复幂零流形的研究可以为(p,p+1)-温和ddbar引理提供丰富的例子。因此，本项目打算研究充分一般的复幂零流形Kuranishi幂级数项数的有限性及其上界与幂零李代数步数、流形复维数之间的联系，这是Rollenske提出的一个问题。此外，本项目还打算研究复幂零流形的Dolbeault上同调与它左不变微分形式的Dolbeault上同调同构的猜测。

本项目的研究内容主要分成两部分：.(1)用幂级数构造法证明满足(p,p+1)-温和ddbar引理的紧致复n维p-凯乐流形的局部稳定性定理，其中p是1到n-1之间的正整数，n是流形的复维数。它会统一紧致凯乐流形、满足(n-1,n)-温和ddbar引理的平衡流形及p-凯乐ddbar流形的局部稳定性定理。这是Kodaira提出的一个问题的延伸。.(2)在紧致复幂零流形范围内，研究Chern Kahler-like, Strominger Kahler-like以及Riemannian Kahler-like这三个非凯乐几何条件的刻画以及maximal nilpotent复结构的几何性质。充分一般的复幂零流形Kuranishi幂级数项数的有限性及其上界与幂零李代数步数、流形复维数之间的联系尚在研究中。复幂零流形的Dolbeault上同调与它左不变微分形式的Dolbeault上同调同构的猜测也尚在研究中。这些可以为非凯乐几何的研究提供丰富的实例并做好铺垫。..项目执行期间，项目主持人在方向(1)方面发表了2篇SCI论文；在方向(2)方面发表了2篇SCI论文.