正半定张量的估计及其在磁共振成像中的应用

Magnetic resonance imaging, which is performed about 60 million cases per year, is a standard detection method in clinical medicine. On the other hand, there are six Nobel Prizes awarding for contributions in magnetic resonance and its related areas. So, the study on magnetic resonance imaging is significant to scientific research and practical applications.. In this project, we devote to an important issue, the higher-order tensor imaging, in magnetic resonance imaging. To characterize the restricted diffusion of water molecules within biological tissue, the corresponding higher-order symmetric tensor must be positive semidefinite. Based on our work published in SIAM J. Imaging Sci. (2013), we will conduct the following studies. (1) We make further researches on the lower-rank property and the positive semidefiniteness of higher-order symmetric tensors, and establish a new mathematical model for higher-order tensor estimation from the viewpoint of the sum of squares polynomial and semidefinite programming. To verify our model, we apply it in two applications: the estimation of a strictly positive definite generalized diffusion tensor and computations of nonnegative fiber orientation distribution function. (2) We propose a new regularized method and obtain a new optimization model for the low-rank decomposition of higher-order symmetric tensors. This work leads to a novel technique to extract discrete fiber orientations from the fiber orientation distribution function. (3) According to the special characteristics of established models, we design robust and efficient numerical algorithms. Finally, a practical software toolbox would be produced to deal with the massive data from magnetic resonance imaging.

磁共振成像是临床医学中诊断病情的一项常规检测手段，每年全球约检查6000万病例。另一方面，与磁共振现象相关的研究共获得了6次诺贝尔奖。这些数据表明从事磁共振成像方面的研究具有重要的科学意义和实用价值。.本项目旨在研究磁共振成像中的高阶张量成像问题。为了描述水分子在生物组织内部的受限扩散运动，相应的高阶对称张量必须正半定。在去年发表于SIAM J. Imaging Sci.文章基础上，我们进行如下研究：(1)进一步研究同时具有低秩性和正半定性的高阶张量估计问题，科学运用平方和多项式和半定规划技术来建立新的数学模型，并研究其在估计严格正定的广义扩散张量和非负的神经纤维方向分布函数中的应用。(2)在高阶对称张量低秩分解中，提出了新的正则化方法，建立新模型，并研究其在神经纤维方向提取中的应用。(3)利用上述数学模型的特点，研究可靠和有效的计算方法，并形成处理磁共振成像问题中海量数据的应用软件。

正半定张量在科学和工程的许多领域具有重要的应用。例如，在医学磁共振成像中，描述人体大脑中神经纤维走向的偶数阶张量必须是正半定的，这一要求是由水分子的扩散原理决定的。本项目围绕正半定张量开展若干研究工作。一、针对医学磁共振成像中的神经纤维方向分布函数估计问题，我们提出了一种新的半定规划模型，它保证了估计出的神经纤维方向分布函数具有非负性和规范性，即具有统计意义。进一步地，根据张量的谱理论，我们设计了一种新的正则化技术。为了有效地求解该半定规划模型，我们提出了一种带校正步的Peaceman-Rachford分裂算法，并证明了算法的全局收敛性。数值实验表明我们的新模型得到的神经纤维走向与解剖学的结果一致。二、我们研究了三维强对称循环张量和四阶四维Hankel张量的正半定性和平方和性质之间的关系。由于检验张量的正半定性一般比较困难，而检验张量的平方和性质存在多项式时间算法。如果对于某些特殊的结构张量，正半定性和平方和性质之间存在等价关系，我们就可以通过平方和性质判定张量的正半定性。以张量的特征值理论为工具，我们研究了两个特殊的结构张量的正半定性和平方和性质之间的关系。三、偶数阶对称张量的正半定性还可以通过其最小的H-或Z-特征值非负的办法来判定。为此，我们研究了大规模Hankel张量和超图中产生的相关张量的最大和最小特征值的计算方法。我们设计了超图中产生的大规模张量与向量乘积的快速算法，并将其与一阶优化算法，如谱梯度法、共轭梯度法和有限存储拟牛顿法，结合进而得到了一类计算张量极特征值的有效算法。利用张量问题的半代数性质，我们分析了算法的全局收敛性和找到全局最优解的概率。数值试验表明我们的算法可以有效的计算百万维Hankel张量和超图中产生的张量的特征值。