基于超收敛点配置边界元理论及数值解的研究

There are lots of advantages for boundary element methods to solve the unbounded domain problems,after the development of the finite difference methods to to solve the problem with regular region and the finite element methods to solve the problems with irregular region,boundary element methods become one of the numerical methods which has been widely used in many practical engineering computatinal area of unbounded domains. In this project,we pay our attention to investigate the theorem of collocation boundary element based on the superconvergence point and its numerical solution. Firstly,according to the error functional of Newton-Cotes rule to approximate the singular integral and hypersingular integral, when the special function of the error functional equal to zeros, we get the root of the special function (also considered as the superconvergence point)and take them as the collocation point. Secondly,taking the superconvergence point as the collocation point on each subinterval to construct the collocation algorithms to solve the singular intergral equation and hypersingular intergal equation, we discuss the stability and convergence of the collocation algorithms, then we get corresponding error estimation. At last, based on the analysis of the special disctete structure of the boundary integral equation, we analysis the accrucy of singular integral equation and hypersingular integral equation with the collocation point taking as the superconvergence point and the mesh point. In this project, we try to construt numerical solution of singular integral equation and hypersingular integral equation, then establish the general theoretical framwork of collocation boundary element methods and provide the basis theory of boundary element methods which is used in engeering problems.

边界元方法对于无界区域上问题的求解具有较大的优势,成为继有限差分方法求解区域规则问题、有限元法求解有限不规则区域问题之后发展起来的数值计算方法之一，在许多无界区域上的实际工程计算领域中已得到广泛的应用。本课题主要研究基于超收敛点的配置边界元理论及数值解。首先，根据牛顿-科特斯公式近似计算奇异积分与超奇异积分误差泛函中的展开式，当误差泛函中特殊函数等于零时，得到特殊函数的零点(也被称为超收敛点)并取之为配置点；其次，基于超收敛点在每个子区间上构造相应的配置格式求解奇异积分方程与超奇异积分方程，讨论算法的稳定性和收敛性，得出相应的误差估计；最后，在对具有特殊离散结构模型的分析基础上，分析配置点取超收敛点与剖分节点时对奇异积分方程和超奇异积分方程求解精度的影响。本项目将构造求解奇异积分方程与超奇异积分方程配置法的数值格式，建立一般的理论分析框架,为配置边界元方法在工程中应用提供理论依据。

边界元方法在求解无界区域上问题的求解具有较大的优势，本课题主要研究超奇异积分方程的数值求解和超奇异积分的近似计算。本课题针对上述问题开展了深入研究，取得了系列成果，具体如下：.1．提出了梯形公式近似计算圆周上三阶超奇异积分的误差展开式；结合超收敛结论，选取超收敛点为配置点构造配置法求解第一类超奇异积分方程，在增加正则化因子的条件下可以简单的求解超奇异积分方程；2．提出了广义矩形式近似计算圆周上Hilbert型Cauchy主值积分的显式误差估计；结合超收敛结论，选取超收敛点为配置点构造配置法求解第一类强奇异积分方程，在增加正则化因子的条件下，证明了该算法的收敛性，并且得到了相应系数矩阵的逆矩阵的显示表达式；3．提出了辛普森公式近似计算Hilbert型Cauchy主值积分的计算方案，到相应得到超收敛结论；取超收敛点为配点构造配置格式求解圆周上的奇异积分方程；4．提出了辛普森公式近似计算区间上三阶超奇异积分的误差展开式，构造了外推算法，证明了外推算法的收敛性和后验误差的收敛阶；5．提出了矩形公式近似计算区间上二阶超奇异积分的外推算法，对于密度函数足够光滑的情况，给出误差展开式，构造了外推算法，证明了外推算法的收敛性和后验误差的收敛阶，采用巧妙的方法，得到了矩形公式近似计算经典黎曼积分同样的外推收敛阶；6．给出了基于分片常数插值和梯形公式采用经典方法近似计算矩形区域上的二维强奇异积分的误差展开式；7．完成了经典矩形公式近似计算圆周上Hilbert型Cauchy主值积分的算法，当奇异点位于某个特殊点情况下，给出误差泛函的基础上，得到相应的超收敛现象可以简单高效的近似计算Cauchy主值积分。.共发表学术论文28篇，其中正式发表论文中有19篇被SCI检索，2篇被会议EI收录。在理论方面，本项目为基于超收敛点为配点求解奇异积分方程与超奇异积分方程等热点问题的研究提供了新的思路； 在应用方面，将为边界积分方程方法求解实际问题的求解奠定理论基础。