具有有限循环基本群纤维型5维流形的分类

对具有给定性质的流形进行分类是拓扑学的核心问题之一。对于单连通5维流形，在60年代由Smale和Barden给出了清晰的分类定理。但是对于基本群非平凡的5维流形，由于情况较为复杂，长期以来没有任何分类结果。本研究计划将对一大类具有非平凡基本群的5维流形进行分类。这一类流形包括了单连通4维流形上的圆周丛。作为流形分类的一般理论工具的手术理论在实际应用中通常会遇到难以克服的同伦论困难，本计划将采用由Kreck发展的改进的手术理论。初步研究表明这一方法非常适用于这一类流形的分类问题。根据基本群的阶数为2，3和大于3，此分类问题分为3种情形。第一种情形已经由我及合作者I.Hambleton完全解决。因此本研究计划将集中于后两种情形。研究的核心问题包括计算相关的配边群的不变量，将配边不变量解释成流形的微分（或拓扑）不变量，对给定的不变量构造具有这些不变量的流形，以及对单连通4维流形上圆周丛的计算。

在本项目执行期间本人完成了以下3项工作..1.球面乘积S^2 x S^3上的自由对合的分类。本项目资助下主要完成的工作。本项工作将对基本群为Z/2的5维流形的研究拓展到非纤维型的情形，对球面乘积S^2 x S^3上的自由对合给出了完全分类，可以给出在光滑和拓扑范畴球面乘积S^2 x S^3上的自由对合的数目。这一结果在某种意义上既是C.T.C.Wall关于5维赝射影空间的分类的扩展也是本人之前关于基本群为Z/2的纤维型5维流形分类的扩展。..2.流形版本的Quillen +-构造。与合作者对流形版本的Quillen +-构造进行了研究，将前人的结果（Whitehead挠量=0）推广到可以实现任意的Whitehead挠量。..3.基本群为Z的5维流形。与合作者对基本群为Z的5维流形进行了研究，在高阶同伦群是有限生成阿贝尔群时得到了这一类5维流形的分类定理。这个结果是Browder-Levine关于流形在圆周上纤维化的经典定理在5维时的结果。