变密度粘性流体动力学中非线性瑞利-泰勒不稳定性的数学理论研究

This project is devoted to studying the mathematical theory of nonlinear Rayleigh-Taylor instability in viscous fluid dynamics with variable density from the point of view of dynamical system, which includes: compressible fluids, inhomogeneous incompressible magnetohydrodynamic fluids, and the corresponding stratified fluids. The proof of the framework can be summarized as follows: firstly, we estabilish the local well-posedness of solutions to the models; secondly, we construct the growth solutions to the corresponding linearized equations, and compute out the spectrum of linear operators; finally, the solutions of nonlinear equations will be given in a form of mild solutions, which makes the main linear part absorbing the nonlinear part, and thus obtain the resutls of nonlinear instability. The models have their own characteristics, which result in some difficulties in mathematics. To overcome them, we will explore some new transformations and general variational methods to investigate the single-phase flow models, then research the free boundary problem in stratified fluids. Our results not only enrich the instability of the mathematical theory in the fluid dynamics, but also provide theoretical guidance in mathematical point for the physical applications. In addition, we will study the spectrum problem of linearized equations of Rayleigh-Taylor problem for density-dependent viscous fluids coupled with the action of gravitational field under the framework of Sobolev spaces, it will also enrich and perfect the spectrum theory in fluid dynamics.

本项目主要从动力系统角度，研究变密度粘性流体动力学中非线性瑞利-泰勒不稳定性的数学理论，其中包括可压流体、非齐次不可压磁流体、以及对应的分层流等模型。所采用的证明框架为：首先建立模型解的局部适定性；其次构造对应的线性化方程组的增长性解及线性算子的谱；最后把非线性方程组写成温和解的形式，使得主要的线性部分能够控制非线性部分，从而得出非线性不稳定性。由于这些模型都有各自的特点，为了克服其所产生的数学难点，我们将探索一些新的变换方法及一般的变分方法来研究密度连续情况模型，然后进一步研究分层流中的自由边界问题。我们的结果不但会丰富流体动力学中有关不稳定性的数学理论，而且还能为实际物理应用提供数学角度的理论指导。此外，我们将在Sobolev空间框架下研究重力场作用下的变密度粘性流体瑞利－泰勒问题的线性化方程组的谱问题，这将进一步丰富并完善有关流体动力学的谱理论。

考虑重力场下两层完全平行的上重下轻且互不相溶的流体,则该状态是不稳定的,因为任何小扰动都会导致扰动放大及重力势能的的释放，同时伴随着重物质下沉，轻物质上升。该现象被称之为瑞利-泰勒不稳定性。本项目主要从动力系统角度，研究变密度粘性流体动力学中非线性瑞利-泰勒不稳定性的数学理论，其中包括可压或非均匀不可压流体、非均匀不可压磁流体、以及分层不可压粘弹性流体等模型。通过三年的潜心研究，本项目取得一系列重要数学结果，具体包括：1.证明了一般有界区域上可压及非均匀不可压有粘流体动力学中的非线性瑞利－泰勒不稳定性；2. 对于下重上轻的稳态密度，且导数恒为常数时，申请者用能量方法证明该稳态密度是稳定的，从而在数学角度上论证了浮力的致稳效果；3.发现在磁场方向的非滑动边界具有加强磁场的致稳效果，从而证明了水平磁场在瑞利-泰勒不稳定性上具有与垂直磁场相同的致稳效果；4. 对于线性化分层磁流体的瑞利-泰勒问题，本人计算出了利用垂直磁场强度判别是否稳定的公式。具体的说，在给定的上下层密度、高度及重力常数，我们可以算出临界磁场值，当磁场强度大于临界磁场值时，瑞利-泰勒不稳定将被抑制发生；5. 从数学角度严格证明弹力具有致稳作用，特别地，当弹力系数适当大时，将会抑制瑞利-泰勒不稳定性的发生。这些结果不但丰富了流体动力学中有关不稳定性的数学理论，而且还能为实际物理应用提供数学角度的理论指导。此外，本项目还研究可压向列液晶模型弱解存在性问题，及非等熵稳态纳维尔-斯托克斯方程组的解的存在性问题，并取得重要结果，具体包括：1. 首次证明二维带有临界项|▽d|^2d 的可压向列液晶模型具有小初值整体弱解；并且对三维情况，本人发现如果在液晶分子方向小性条件下，即液晶分子具有充分靠近单位球面极点的小性条件，可利用极值原理，推导出必要的先验估计，并因此首次证明了3维情况全局大能量弱解存在性；2.利用Leray－Schauder不动点原理，通过截断函数技巧，证明可压热传导流体的稳态纳维尔-斯托克斯方程组的存在强解；并且推导出关于小马赫数的一致估计，从而得到小马赫数极限结果。