带限制的逼近问题

本课题的研究是函数逼近论中宽度问题的进一步延伸.研究函数类的宽度一直是逼近论的核心问题之一. 数值分析和应用数学的理论需要推动着宽度研究的深入. 我们在Kolmogorov宽度的基础上对逼近集做进一步限制，即研究定义在实轴上和球面上的光滑函数类在一定限制条件下的宽度- - 相对宽度，它与宽度问题既有区别又有联系，区别在于相对宽度的逼近集不再是线性子空间而是一般的凸集，联系是宽度的相应结果是相对宽度的下界.相对宽度问题近些年来已有部分俄罗斯学者和中国学者做出一些结果，其中逼近集属于Lp空间，但仅限于p=1,2,无穷.我们将研究逼近集属于Lp,而p不等于1，2和无穷的情形. 而定义在球面上的相对宽度是我们提出的新问题，在研究过程中要给出一些新的概念，新的方法.

对于第一个研究目标，即研究定义在实轴上的光滑函数类的相对无穷维宽度，我们利用指数型样条作为逼近工具，指数型样条作为多项式样条的推广有很多好的性质，利用其基函数的再生性等特点我们得到了一些实轴上的光滑函数类的带限制的逼近问题的结果。对于第二个研究目标，即研究定义在球面上的光滑函数类的相对宽度，我们借鉴了球面小波的好的性质，得到了一些简单情形下的球面上的光滑函数类的带限制的逼近问题的结果。此外，我们还研究了跟我们的研究目标相关的应用研究，其中包括由Morlet,Mexican-Hat等基函数生成的小波与神经网络相结合在图像压缩和降雨量预测方面的应用。项目组成员经过一年的研究，发表论文4篇，其中EI检索3篇。