有限群：结构及在自动机理论中的应用

By using some mathmaticla softwares, such as the GAP, etc, we will investigate the structures of some special kinds of finite groups in the context of formations, and study the applications of finite groups in the automata theory. In the branch which is the Chinese groups theorists' hotpoints, such as the structure of finite groups having some subgroups with some embedding properties, we want to give the classified results in local version; we will continue to investigate the influence of product factors of subgroups on the structure of whole group and the structure of finite groups with some special subgroups series, in theses branchs we have got some leading results. In the branch that there are less-concerned in China, such as the relation of finite groups and the languages, the application of finite groups in the automata, etc, we will pay more and more energies to them to catch up the development of finite groups in the world..In a word, our project has significance in the theory and application of finite groups.

课题组将在从群系的观点出发，借助GAP等数学软件的帮助，对一些特殊的有限群的结构进行刻画，研究一些特殊的有限群在自动机理论中的应用。　在一些国内群论研究的热点课题如具有特殊嵌入性质的子群的有限群的结构方面, 课题组将强调从局部化的思想出发进行分类工作; 在研究本课题组处于国内外领先的课题如置换积的因子对群结构的影响、具有特殊子群列的群结构方面的内容时，课题组将继续深入下去，保持优势；在一些国际群论的新动态而国内暂时观注比较少的课题如群与语言的关系等方面, 课题组参于进来, 与国际接轨, 以期占有一席之地.本课题既利用研究者的基础和学术背景着重理论研究,以推进有限群的结构方面的前沿理论研究, 又关注有限群论在其它分支方面的应用,展示出有限群论理论研究的应用价值，所以是一个十分有意义的课题.

四年来，项目组全体成员扎实有效地进行研究，获得了丰富的成果，共发表论文47篇，另外有6篇文章录用， 其中SCI 源杂志 49篇， 仅在国际在最好的代数期刊 J. Algebra 上就有8篇，在 J. Group Theory 上有2篇，在国际上传统的、经典的数学期刊 Monatsh Math. 上有 7篇， 在Israel Math J.、 Bull. Aust. Math. Soc.，Arch. Math. 、Glasgow Math. J. 等综合类期刊上上各有2 篇. 我们的成果不但丰富， 而且水平高，在相关领域上处于国际上领先水平。 在具有某类特殊嵌入性质的子群的有限群的结构方面，我们给出了p^k阶子群具有可补性质的有限群的刻画、p^k阶子群具有s-permutably embedded property 的有限群的刻画、p^k阶子群具cover-avoidance property 的有限群的刻画等; 对p-nilpotent group 给出了统一了前人的结果的刻画、给出了π-S-permutable subgroup 的内在性质、解决了李世荣教授、李宝军教授分别在他们发表于J. Algebra 上的论文上提的两个公开问题、精细化了前人关于p-可解群的p-长的刻画，等等。完全置换积(互相置换积、m-置换积等)群的研究方面， 我们推广了钱国华教授、王燕鸣教授的在 “ J. Algebra Appl., 13（2014） 1-8”中关于有限群的共轭类长结果、在“J. Algebra, 466(2016)34-43” 中我们给出了两个交换群的互相置换积的方次数的刻画及两个p-长至多为1 的群的互相置换积的p-长的刻画； 另外 我们获得了两个F-groups 的互相置换积仍然为F-group的 一个充分条件，其中 F表示一个饱和群类， 结果投稿中。在是SNE-group 的研究方面, 我们对SNE-group的结构有了进一步的认识,获得了SNE-group 的许多性质，也得到了它得到一些等价的命题。 由于该群结构比较复杂， 但是还有许多地方我们不清楚,有待我们进一步探究。我们在被特殊群类认可的(recognizable)的语言的研究方面也获得了一些好的结果,在理论计算机重要的期刊上发表了2篇文章。