特征值、子图存在和结构参数

The research on graph spectral theory mainly focuses on the eigenvalues and eigenvectors of the related matrices of a graph. We use algebraic methods to study the topological properties of a graph, and use the structures of a graph to determine the spectral properties of the eigenvalues of a graph. The subject mainly includes two parts. On the one hand, to study the relationship between the distance eigenvalues of a graph, the existence of subgraphs and the structural parameters, we pay our attentions to the following three topics. Firstly, we will give sufficient conditions for the existences of Hamilton cycles and 4-cycles in terms of distance spectra of a graph. Secondly, we will give some conditions to determine whether a graph to be bipartite by distance spectra. At last, we will try to solve Fjtlowicz conjecture. One the other hand, we mainly study the relationship between the adjacency spectra and the existence of subgraphs. The main topics in our plan include Bollobas-Nikiforov conjecture, Krivelevich-Sudakov problem and the existence of k-factors in non-regular graph in terms of graph spectra.

图谱理论主要研究图的相关矩阵的特征值和特征向量，应用代数理论来研究图的拓扑性质，以及应用图的拓扑结构来研究图的谱性质。在本项目中，我们将对以下两方面的内容展开研究。第一，关于图的距离特征值、子图存在和结构参数，我们将重点研究以下几类问题：1.图的距离谱和图中哈密顿圈、4-圈的存在性问题；2.能否根据图的距离谱来判断该图为二部图；3.Fajtlowicz猜想。第二，关于图的邻接特征值和子图存在性，我们将重点研究以下几类问题：1.Bollobás-Nikiforov猜想；2.Krivelevich-Sudakov问题；3.非正则图中因子存在的谱条件。

在本项目支持下, 我们在Combin. Probab. Comput., J. Graph Theory, European J. Combin., Discrete Math., Discrete Appl. Math.等重要的SCI期刊上发表了20篇研究论文，并受《数学进展》的邀请，发表了距离谱的综述文章1篇。在谱极值问题、图的距离谱及其应用和图的Aα谱这三大方面都取得了重要的研究成果和多项创新成果,解决了一些公开猜想,也提出了许多新猜测。例如:与宁博和宝音都仍合作，创新性地引入双随机矩阵和优超理论证明了在不含三角形的图中，邻接矩阵的第一大特征值和第二大特征值平方和不超过图的边数(经典Turán定理的加强版)并刻画了极图，此外，还提出了对奇围长是2k+1的谱半径条件的公开问题。与宁博彻底地解决了Cvetković和Rowlinson外可平面图类中最大谱半径的极图刻画这一猜想，并证明了n=6的极小情况的这个猜想是错误的。与合作者们还研究了Brualdi-Solheid Turán型问题，在圈结构、车轮和k-树等子图存在性的谱半径条件方面得到许多结果，并将该类问题引入距离谱，分别刻画了不含四边形、哈密顿路、哈密顿圈和完美匹配等结构且距离谱半径最小的连通图或连通二部图。与合作者们还给出了一些图是Aα谱唯一的, 引发了对Aα谱的推广与应用。我们也在图的特征值和结构参数的关系研究中解决了一些公开猜测，其中涉及邻接谱、距离谱、无符号Laplacian谱等等。这些工作推动了特征值、图的参数与子图研究工作的交叉融合。