抛物方程多种数值算法的局部误差估计

The parabolic equation as an important type of partial differential equations has a very wide range of practical applications. Among them, parabolic equations with blow-up solutions or singularities have been focused more and more attention in practice. Therefore, to study the local properties of parabolic equations is extremely significant. This program will involve the following three problems for parabolic equations..1. The research of local error estimates of finite element methods for elliptic equations is relatively plenty. Hence, we would like to follow this study to analyze the local theoretical results for parabolic equations..2. Local discontinuous Galerkin (LDG) methods which have high order accuracy works very well for simulating singularly perturbed problems. Inspired by this finding, we prefer to discuss the local error estimate of LDG methods for parabolic equations and the pollution region..3. Investigate the local error estimate of finite volume method for parabolic equations.

抛物方程作为一类重要的偏微分方程，具有非常广泛的实际应用。其中，具有爆破解或奇异解的抛物方程在实际应用中越来越受到重视，因而，研究该类方程的局部性质就显得极为重要。本项目拟针对抛物方程做三个方面的工作。.1. 针对有限元方法，椭圆方程的局部误差估计结果较为丰富，因此，我们希望在此基础上，分析基于抛物方程的局部理论结果。.2. 具有高精度的局部间断有限元（LDG）方法在模拟奇异扰动问题时表现出很好的性能。受此启发，针对LDG方法，拟建立基于抛物方程的局部误差估计并讨论污染区域。.3. 探讨抛物方程基于有限体积方法的局部理论研究。

本项目研究具有奇异解的偏微分方程的多种数值方法的局部误差估计及其实际应用。鉴于有限元方法研究的完整性，本项目的前期工作主要针对有限元方法，对含有奇异性质的椭圆方程到抛物方程进行推广。在有限元工作的基础上，探讨有限体积方法应用于含有非正则解的椭圆方程的局部误差理论。考虑到有限体积方法双线性函数不具有对称性，以及测试空间和检验空间的不一致性，通过建立其与有限元方法双线性函数的关系，估计两种双线性函数之间的差距，然后利用有限体积方法的特性，给出有限体积方法针对椭圆方程的局部误差估计。针对一类具有爆破解的化学趋向性模型，提出了能量耗散的局部间断有限元方法，可以精确的捕捉爆破时间和爆破区域。最后，针对具有奇异初始值的线性双曲方程，给出了间断有限元方法的超收敛估计。