基于算法信息论的通用复杂性度量及其应用探索

算法信息论自40年多前提出以来也被称为柯尔莫戈罗夫复杂性。与香农信息论相比它不依赖于形式化假说和平稳信源假设，理论上适用范围更广。若把香农信息论所有假设保留下来，Brudno定理证明算法信息度量和信息熵几乎完全等价。算法信息定义的缺陷在于难以计算。著名的兰帕尔-齐夫复杂性（LZ复杂性）仅提供它的一个可计算的上界，与信息熵保持渐进一致。但最近引入非线性系统符号动力学而提出的格子复杂性则成功的将LZ复杂性加以拓展，保留其优点的同时还可将完全混沌序列视为简单序列，而最复杂序列出现在混沌边缘附近，符合目前复杂性科学界主流观念。说明算法信息定义度量的不只是随机性，其特性比经典信息定义更为丰富。本项目以格子复杂性为出发点，以非平稳非线性的人脑信号分析为应用背景，在非线性动力系统基础上探索算法信息度量的通用量化方案，并由一维向更高维推广，有望给复杂性科学研究在理论上提供新的支持，在应用上扩展新的边界。

以随机过程为基础的信息熵是经典统计物理学的核心。但经典信息度量并不适用于人脑、心脏等非平稳非线性生物机体。适用于任意符号序列的通用复杂性度量试图弥补信息熵的局限并衡量更广阔复杂系统的复杂程度。在经过一系列尝试后，有理由认为经典信息熵可视为符合科尔莫戈洛夫算法信息概念的通用复杂性度量的特例，其局限性来自于其背后的通用数据生成模型（即随机过程）所给出的传统通用数据建模视角。在本项目的研究中，最终通过引入通用确定性数据生成模型和再生成模型作为估算通用算法信息度量的两个新的数据模型基础，全面解答了通用复杂性度量领域的所有主要争议问题。第一个新基础提供了由确定性迭代系统出发的数据建模新视角，而传统视角和新视角都可被视为通用数据压缩（通用算法信息）视角的特例；第二种方法提供了由经典随机性视角过渡到确定性迭代系统视角的渐变途径，从而明确了通用算法信息度量作为广义信息度量能够统一复杂性度量和信息度量这两个概念。这些成果预示着我们可以在通用算法信息度量基础上建立包容广泛的复杂系统的广义信息理论和广义统计物理学框架。