各向异性稀疏网格上的谱方法及其在高振荡问题中的应用

In the numerical computation, it is often to deal with two kinds of difficult problems as multi-dimension and high oscillation. Both of them appear together in the computation of many differential equations, and this leads to greater difficulties. This project focuses on the spectral methods on the anisotropic sparse grids for the multi-dimensional Schrödinger equations with highly oscillatory solutions, and researches their algorithm design, theoretical analysis and program implementation. The specific research includes: (1) The anisotropic sparse grids are optimized so that the spectral methods on these grids can retain the advantages in the multi-dimensional computation and can efficiently solve a part of highly oscillatory problems, and the error analysis is given; (2) We discuss the adaptive methods for updating the sparse grids, and design the algorithm of spectral methods on it; (3) The sparse grids are applied in the computation of nonlocal problems; (4) The obtained efficient algorithms are extended to solve other differential equations with multi-dimension and high oscillation

在数值计算中，人们经常会遇到多维数和高振荡这两类难以处理的问题；而在许多微分方程的数值求解中，两者更是同时出现，这将导致更大的困难。本项目重点针对具有高振荡解的多维薛定谔方程，研究各向异性稀疏网格上谱方法的算法设计、分析及实现。具体研究包括：（1）设计优化的各向异性稀疏网格，使得建立在优化后的稀疏网格上的谱方法能保留进行多维计算时的优势，并能高效求解部分高振荡问题，并进行误差分析；（2）稀疏网格的自适应校正方法及其上谱方法的算法设计；（3）稀疏网格在非局部问题计算中的应用；（4）将所获的高效算法拓广至具有多维数、高振荡性质的其它微分方程的求解。

稀疏网格方法对于逼近多维非光滑问题具有明显的优势。另一方面，分数阶微分方程是近些年来计算数学领域的一个热点，而多维空间上的分数阶微分方程的数值计算也是一个难点。本项目的工作重点是将稀疏网格方法用于求解分数阶微分方程。对于空间分数阶薛定谔方程，我们采用广义稀疏网格上的傅里叶拟谱方法进行求解，并给出了相应的数值实验。结果显示稀疏网格方法在计算分数阶薛定谔方程上所取得的优势要高于计算整数阶薛定谔方程。此外，对于空间分数阶金茨堡-朗道方程，本项目研究了它的傅里叶拟谱方法误差估计。由于当前还没有采用稀疏网格方法求解分数阶微分方程的其它研究文献，所以本项目的研究成果具有一定的创新性。