分数阶医学图像配准模型中的变分问题与数值算法研究

Image registration is spatial position calibration of the same object in two or more images. Research on its variational theory and numerical algorithm are the research emphasis in the field of image processing. Due to the nonlinearity and nonconvexity of variational image registration functional, the research on solution of image registration problem is challenging and novel ideas are required to study the property of solution and their numerical methods. ..This subject prepares to give a research on following two classes of fractional order variational problems on medical image registration: small deformation and large deformation image registration problem. The content of this subject contains: for small deformation model, deformation decomposition and Cauchy-Riemann equation are introduced to eliminate mesh folding and a new fractional order image registration model is proposed. Moreover, existence and regularity of solution, criterion on optimal parameter selecting and corresponding convex optimization algorithm to solve this model are concerned. For large deformation DTI registration problem, a new fractional order DTI registration model with diffeomorphic flow constraint is proposed. Properties of solution (i.e., infinite series representation of solution) and some ADI algorithms to effectively overcome 3D large computation amounts are concerned.Research on these two classes of variational problems can not only enhance our understanding on variational frame of image registration problem but also obtain some numerical results and effectively improve some published image registration models.

图像配准是同一目标的两幅或多幅图像在空间位置上的校准。对于该问题的研究是图像处理的前沿热点。由于配准泛函具有很强的非线性和非凸性，因此图像配准问题解的研究富有挑战性，亟待引入新的思想，探讨其解的性质和数值算法。.本项目拟研究两类分数阶医学图像配准问题：小形变和大形变图像配准问题。主要研究内容包括：针对小形变问题，引入形变分解和Cauchy-Riemann方程来消除网格重叠现象，给出一个新的分数阶配准模型，证明解的存在性并探索最优参数的选取准则和凸优化配准算法；针对大形变图像配准问题，给出一个带微分同胚流约束的分数阶DTI图像配准模型，研究解的一些对数值计算有重要参考价值的性质(例如，解的无穷级数表示)和有效克服三维配准大计算量难题的交替方向(ADI)算法。这两类问题的研究不仅有助于我们加深对图像配准变分理论的理解，而且还可以得到相关的数值算法，有效地改进和完善已有的若干图像配准模型。

图像配准是指在不同图像同一对象之间建立空间对应关系的过程。它是图像处理领域的热点。作为图像处理领域最具挑战性的子课题之一，图像配准广泛应用于医学、遥感、国防等领域。特别是在医学方面，图像配准是医学图像处理与智能分析领域的重要环节和关键技术。它为多种疾病的辅助诊断和手术导航提供技术支撑。例如，在临床实验中(PET-CT)，同一解剖结构在PET和CT两种不同模态下显示不同的特征。为了更好地诊断疾病或辅助手术，需要对PET和CT图像进行配准、融合，以达到不同模态信息互补。关于图像配准问题，从上世纪80年代起，很多著名数学家，例如:P. L. Lions、S . Osher、丘成桐、L. M. Lui、顾险峰、陈柯、陈韵梅等知名教授都曾做出过重要贡献。不过，在实际应用中图像配准领域仍然存在一系列问题和挑战亟待解决。本项目主要针对两类图像配准变分问题展开研究，讨论小形变分数阶图像配准模型的网格重叠现象控制方法、大形变分数阶图像配准问题的数值计算方法和相关的最优参数选取准则。具体研究内容包括：1）对小形变图像配准模型，通过引入Cauchy-Riemann方程作为约束条件，给出了一个带偏微分方程约束的分数阶微分同胚图像配准变分模型，有效地克服目前已有的绝大多数二维图像配准模型都无法克服的网格重叠(mesh folding)现象。进一步地，我们提出了一类多尺度图像配准方法，证明了该方法诱导的解和贪婪配准问题解的逼近关系，从而给出了最优参数的一种选取准则；2)针对大形变图像配准模型，我们以上述多尺度方法为基础，通过一系列形变场的复合，来有效模拟大形变、克服变分泛函的局部极小,并通过ADI格式、多重网格方法、奇异值分解、由“粗”到“精”的方法等技巧，对大形变图像配准算法进行加速，取得了良好的效果。. 通过本项目的实施，我们得到了一些新的数学结果和算法，从理论上解释了一些图像配准现象并从计算精度和速度两方面改进了已有的图像配准算法。