基于非线性财富方程的几个投资组合优化问题

There are lots of financial markets in which the wealth equations are nonlinear. For instance, the borrowing rate is always higher than the risk-free rate and there is margin requirement when investors short securities in the financial markets. In this program. Moreover, in order to incorporate the risk attitude of the investors and the incompleteness of the financial markets more precisely, the utility functions will assumed to satisfy the Inada conditions and the wealth equations may be not differentiable. we will study several portfolio optimization problems under nonlinear wealth equations. As we could not solve these problems by the stochastic optimization control theory currently. We will character the optimal solutions by methods of function approximation and convex analysis, etc. These studies are not only the improvement and development of portfolio selection theory, but alse have important practical meaning. The theoretical results of this program will supply more rational guidance for an investor and the financial institute, and will help financial regulator monitor the markets effectively. The financial markets will be more perfect and stable with the help of the results of this program.

在金融市场中，很多模型中的财富方程都是非线性的，比如说当金融市场上借入借出利率不相等时，或者投资者卖空股票时需要交一定的保金。而且，为了更准确的刻画投资者的风险态度和市场的不完备性，效用函数通常会满足Inada条件，财富方程有可能不可导。本项目将主要研究几个基于非线性财富方程的投资组合优化问题，由于无法使用现有的随机最优控制理论的方法刻画最优解，我们将借助于函数逼近、凸分析等方法来对最优解进行刻画。本项目试图得到若干基于非线性财富方程的投资组合优化问题的最优解。这些研究不仅是投资组合理论的完善与发展，也具有重要的实际意义。本项目的理论研究结果将指导个体投资者以及金融机构进行更理性的投资分析，指导金融监管机构对市场进行更有效的调节，使金融市场更加完善与稳定。

在金融市场中，很多投资约束会导致财富方程不再是线性的，比如借贷利率不相等时，或者投资者卖空风险资产时需要交一定的保证金。基于此，本项目研究了带有凹系数的递归效用优化问题，其中财富方程和递归效用过程都是非线性的。我们用凸对偶方法得到了投资者的最优终端财富。在具体的借贷利率不相等模型、大户投资者的价格压力模型和著名的k-未知模型中，我们刻画了最优终端财富的显式形式。我们还研究了一类非线性财富方程下的均值-方差问题，通过推广了的里卡蒂方程给出了最优的投资策略和有效前沿的表达式。然后我们用凸对偶方法刻画了该不完备市场中的方差-最优等价鞅测度，发现了与线性财富方程下对应的均值-方差问题的联系。.另一方面，有些风险资产往往不允许卖空，并且市场参数在不同的市场环境下（比如牛市和熊市）是不同的。为了更准确的刻画实际的金融市场，我们研究了带有锥约束和体制切换的随机线性-二次控制问题及其相应的均值-方差投资组合优化问题。通过两个推广了的里卡蒂方程组，我们得到了最优控制和最优值。从倒向随机微分方程角度，我们用多维比较定理、截断技术、对数变换和John-Nirenberg不等式证明了里卡蒂方程组的解的存在唯一性。为了求解相应的均值-方差投资组合优化问题，我们采用压缩映射方法还证明了一个带有无界系数的线性倒向随机微分方程组的解的存在唯一性。我们还研究了无穷时间区间上带有体制切换、随机系数和锥约束的线性-二次控制问题。为了处理该问题，我们引入了两个无穷时间区间上的里卡蒂方程组。通过一列有限时间区间上的里卡卡蒂方程组和逼近技术，我们在标准情形和奇异情形下分别证明了其解的存在性，并且得到了最优控制和最优值。得到的结果可以用来求解一个追踪某个给定的财富水平的终生投资组合优化问题。