带有不规则耗散项的不可压缩流体力学系统的数学问题

This project will be devoted to study some systems from incompressible fluid mechanics with the anomalous dissipative terms, where the anomalous dissipative terms are including: the fractional Laplacian term and the anisotropy partial dissipavtive terms. The fractional Laplacian operator is a nonlocal pseudodifferential operator, and comes from Markov process with the rotation invariant in the stochastic process. We mainly discuss the well-posedness to a series of the Cauchy problem of above systems , including to blow-up criterion of local smooth solution, existence, uniqueness, regularity and long time behavior of global solution of global weak solutions, and the inviscid limited problems etc., especially, we shall also look for the relation between the order of fractional Laplacian operator, the partial loss of dissipation, and well-posedness of the above problems, furthermore, we shall study the well-posedness of the corresponding inviscid problems. We shall use the mordern analytical technique and the classical theory to consider our problems, for instance of Littlewood-Paley decomposition, pseudodifferential operator theory, operator semigroup theory and De Giorgi-Nash-Moser estimates etc.. We hope that our work of this project can be helpful and referencable to the theory of mordern PDEs , and some unsolved problems of fluid mechanics systems.

本项目拟致力于研究某些含有不规则耗散项的不可压缩流体力学方程，这里的不规则耗散项包括：分数阶Laplace项、各项异性的部分耗散项。其中分数阶Laplace算子是一个非局部的拟微分算子，它来自随机过程旋转不变的Markov过程。主要讨论这一系列问题的适定性，包括局部光滑解的Blow-up机制，全局弱解的存在唯一性、正则性和强解的长时间性态，以及无粘性极限等问题，着重探讨分数阶Laplace算子的阶数以及部分耗散项的缺失对问题适定性的影响，以便进一步讨论相应的无粘问题的适定性。主要利用现代分析技术和经典的分析理论，如Littlewood-Paley分解、拟微分算子理论、算子半群以及De Giorgi-Nash-Moser估计等理论来研究此类问题。期望本项目的研究能够丰富现代偏微分方程的理论，并给目前尚未解决的流体力学方程的本质问题提供新的思路和参考。

近年来，流体力学方程的数学理论得到迅速发展，特别是含不规则耗散的情形，在实际生活中有很多的应用。本项目就是基于此研究了一系列不可压的带有不规则耗散的流体力学方程的数学理论。主要研究内容可以分为以下两部分：1. 带分数阶Laplacian项的流体力学方程的研究，包括Boussinesq方程、Oldroyd-B模型等，给出了他们的整体适定性，并关于Oldroyd-B模型给出了解的衰减估计。2. 部分耗散的流体力学方程的适定性研究。包括MHD方程、Boussinesq方程、Navier-Stokes方程等。代表性结果表现为以下三个方面：① 给出了一类带有分数阶的部分耗散的Boussinesq方程初值问题的整体适定性。通过建立各种不同的各向异性Sobolev不等式，首次证明了在某些分数次范围内以及水平方向的部分耗散情形，Boussinesq方程的正则性是可以保持的。这些不等式将在处理各项异性的问题中发挥非常重要的作用；这条研究问题的思路也将开启一条新的方向。.② 给出了几类流体力学方程的小初值的整体适定性。通过寻找方程本身所具有的特殊结构，将原方程组的线性部分化归为具有统一的线性波方程的结构形式，进而通过利用线性波方程的解算子和Duhamel原理写出带有非线性项的波方程的积分表达式，通过利用解算子和非线性项本身的衰减估计建立了连续性方法所需要满足的能量不等式，最终给出了小初值的整体适定性结果。在这样的框架下，本项目处理了带分数阶耗散的Oldroyd-B模型，带damping项的Bernad对流方程等。.③ 给出了几类带有部分耗散的不可压流体方程初值（或一个空间方向为周期）问题的稳定性结果，包括MHD方程、Boussinesq方程和Navier-Stokes方程。这些方程在全空间上的稳定性结果一直是未被解决的问题。本项目通过对解做水平平均部分和震荡部分的分解，并给出了各自的一些特殊的性质，特别给出了一种只依赖一个方向导数的Poincare不等式，从而建立了Boussinesq方程和Navier-Stokes方程在一个方向上为周期情形的能量封闭。对于MHD方程，利用波方程的结构信息给出了恰当的能量泛函，从而得到最终的能量封闭。