Hénon型方程解的集中现象

In this project, we mainly study concentration phenomena of solutions for Hénon type equations. The main objective is to investigate the existence and asymptotic behavior of the least energy sign changing solutions, thus to obtain concentration property of the least energy sign changing solutions and to construct single peak or multi-peak solutions for supercritical Hénon type equations. Up to now, there are few results on these problems. It is very difficult to apply the existing theoretical framework directly to Hénon type equations. To do this, we need to develop new mathematical tools and present new idea and techniques in order to solve the problems. Our research will greatly enrich the existing theory of calculus of variation and partial differential equations.

本项目主要研究Hénon 型方程解的集中现象。主要研究目标：研究极小能量变号解的存在性及其渐近行为，从而得到极小能量变号解的集中性质；构造超临界Hénon 型方程的单峰解或多峰解。到目前为止，关于这些问题的研究结果还很少。已有的理论框架很难直接应用到Hénon 型方程。为此，我们需要发展新的数学工具，提出新的解决问题的思路和技巧。我们的研究将会极大地丰富变分学和偏微分方程的现有理论。

在本项目中, 我们主要研究了Hénon 型方程解的集中现象. 具体来说, 我们借助于解的集中性质研究了以下三类椭圆问题: .(1).对于超临界Hénon方程, 我们构造了带有大量波峰的解, 并且波峰解的位置离区域的边界很接近; .(2).对于带有临界指标的双调和Hénon型问题, 我们构造了其无穷多个正解; .(3).对于全空间上的一类椭圆问题, 我们在临界指标附近证明了其大量泡泡解的存在性, 在很大程度上改进了以往的结果.