具有乘法控制项的无穷维量子系统的动力学性质分析

Schrödinger equation is a basic equation in quantum mechanics, who can describe free state, bounded state or localized phenomena about atoms, molecules and subatomic particles. A nonrelativistic single changed particle in one dimension space in a uniform electric field can be described by a Schrödinger equation with bilinear control term. The controllability of bilinear Schrödinger has already been well solved.. In this project, we mainly study the dynamical properties of Schrödinger equation with multiplicative feedback control term. Not only the dynamical properties of bilinear Schrödinger equation in inhomogeneous media but also the dynamical properties of bilinear Schrödinger equation under periodic boundary value condition will be concerned under some non-degeneracy condition. Some results about approximated stabilization will be established by an effective Lyapunov function and a version of LaSalle invariance principle in infinite dimensional space. Moreover, when the non-degeneracy condition is not satisfied, the dynamics properties of nonlinear Schrödinger equation with a polarizability term will also be investigated. We will try to get some results about approximate stabilization by constructing an effective Lyapunov function and using averaging method and discuss how to extend above method to higher dimensional space.. We expected that a framework of method to study the dynamical properties of infinite dimensional quantum system with multiplicative control term can be established. Some highly effective numerical methods of such system will be constructed and the numerical simulation will be performed.

薛定谔方程是量子力学中的基本方程，用来描述量子系统中关于原子，分子，亚原子等粒子的自由态，束缚态，局部化的变化情况。带有双线性控制项的薛定谔方程可以描述在一致电场作用下带电粒子在势阱中的非相对论运动，具有深刻的物理背景和广泛的应用。本项目主要以带有乘法控制项的薛定谔方程为研究对象，探讨其在反馈控制驱动下的动力学性质。首先，我们研究具有双线性反馈控制项的薛定谔方程在不均匀介质中及在周期边界条件下的动力学行为，拟利用LaSalle不变原理，给出其近似稳定化的结果；其次，我们研究具有极化项的非线性薛定谔方程的动力学行为，拟利用平均化的方法，得到其近似稳定化结果，并探讨我们的结果能否推广到高维情形。我们期望建立一套框架性的方法研究具有乘法控制项的无穷维量子系统的动力学性质，并通过数值分析和模拟为其在工程上的应用提供更好的理论支持。

Schrodinger方程是量子力学中的基本方程，用来描述量子系统中关于原子，分子，亚原子等粒子的自由态，束缚态，局部化的变化情况。带有双线性控制项的Schrodinger方程可以描述在一致电场作用下带电粒子在势阱中的非相对论运动，具有深刻的物理背景和广泛的应用。本项目主要以Schrodinger方程为研究对象，探讨带有乘法控制项的Schrodinger方程以及其它与Schrodinger方程有关系统的动力学性质。.在本项目的资助下，项目组成员取得了一系列的进展，主要成果包括：1. 分别得到了Sturm-Liouville边界条件下和在不均匀介质中双线性Schrodinger方程的局部精确能控性；2.应用Strang分离法和Crank-Nicolson方法，数值验证了在不同边界条件下几类Lyapunov函数的有效性，以及无穷维双线性量子系统的近似稳定化结果；3.应用上世纪90年代Wang和Li 发展的最优控制技术给出了证明Hill方程稳定性的一般性方法，证明了包括Lyapunov准则在内的一系列稳定性准则；4.应用偏微分方程的重正化群理论得到了2维和3维空间中二次非线性Schrödinger方程的长时间近似解；5.探讨了几类传染病模型的周期解及相应的分支问题。.在本项目的资助下，项目组成员及其研究生展开了深入的合作，定期去国内外访问学习，邀请国内外知名的专家来长访问探讨，3年来取得了比较满意的成果，已发表SCI论文5篇，已接收SCI论文1篇，处于投稿中的SCI论文3篇，以上论文均已标注本项目。