岩泽理论中的模形式方法

In this project, we will use the congruence method in the theory of modular forms to study Iwasawa theory, in particular, we will focus on the Iwasawa main conjecture for rational elliptic curves at the exceptional primes, say p=2,3. We will study the behavior of the elliptic curve along various Z_p extensions over rational number field or the imaginary quadratic fields, and study the refined BSD conjecture of the elliptic curves at the exceptional primes.

该项目立足于运用模形式理论中的同余方法研究岩泽理论，特别是研究有理数域上的椭圆曲线在例外素数处（例如，p=2,3.）的岩泽主猜想。其中，我们将重点研究椭圆曲线在有理数域或者虚二次域的各类Z_p扩张中的算术行为，以及该椭圆曲线在例外素数处的精细BSD猜想。

本项目研究了Iwasawa理论中几个基本问题，主要涉及模形式的算术，其具体表现形式是椭圆曲线的算术应用。我们侧重于代数和解析两个层面，代数层面上我们研究了各类下降法，主要涉及有限层次和无限层次的下降法，以及对于相应算术不变量的欧拉特征的运用，得到了一系列类群和椭圆曲线的Selmer群在Iwasawa情形下变化行为；解析层面上，我们主要研究L-函数的算术，特别是其非零性的判别法以及其代数值的p-进性质，主要研究其与重要猜想例如Birch-Swinnerton-Dyer猜想等的联系，我们得到了一系列L函数值的非零性的结果。最后，我们着力于研究上面的代数和解析层面的联系，后者称为Iwasawa主猜想，我们也尝试着研究该主猜想中的两类主要方法的运用。