拓扑动力系统中的条件变分原理

The dimension theory is an important area in the study of dynamical systems. In 1973, Bowen defined the topological entropy for non-compact sets and obtained a conditional variational principle for certain non-compact subsets. Pesin and Pitskel extended Bowen’s result in 1984. After that, to establish conditional variational principle for certain non-compact subsets, such as the level sets and historic sets of Birkhoff averages, has become a hot topic in the dimension theory of dynamical systems. . The study of this project focus on conditional variational principle for non-compact subsets. The main targets are as follows:. (1) We shall investigate the large deviations and multifractal structure for systems with pseudo-orbit tracing property. . (2) We shall study the multifractal analysis and thermodynamic formalism for (-β)-shifts. . (3) We consider Hénon maps and establish the variational principle for the topological entropy (pressure) of level sets and historic sets of Birkhoff averages. . The study of this project will enrich the theory of the dimension theory in dynamical systems, and also bring a deeper understanding of the entropy theory.

动力系统维数理论是动力系统的一个重要的研究领域。1973年，Bowen对非紧子集定义了拓扑熵并给出了一类非紧子集的条件变分原理。1984年，Pesin与Pitskel把Bowen的工作推广到拓扑压。此后，对特定非紧子集如Birkhoff平均的水平集与Historic点集的拓扑熵（压）建立条件变分原理成为动力系统维数理论的一个热点问题。. 本项目主要研究非紧子集的条件变分原理，主要研究内容为：. (1) 研究满足伪轨跟踪性质的拓扑动力系统的大偏差性质与重分形结构。. (2) 研究(-β)-shift的重分形分析与热力学公式。. (3)对Hénon映射的Birkhoff平均水平集与Historic点集拓扑熵（压）建立条件变分原理。. 项目的这些研究一方面丰富了动力系统维数理论，另一方面将加深人们对动力系统熵理论的理解。

本项目对动力系统中的Birkhoff平均重分形谱的拓扑熵的条件变分原理展开了研究。我们首先考虑了满足伪轨跟踪性质的拓扑动力系统，利用遍历论和几何测度论的方法给出了该系统的广义Birkhoff平均谱的拓扑熵与测度熵之间的关系式。其次我们给出了部分双曲动力系统中的条件变分原理。我们在部分双曲系统中定义了Borel概率测度的不稳定局部熵，为了刻画不稳定局部熵的重分形谱，我们引入了(q,.)-熵的概念，给出了(q,.)-熵的基本性质，并建立了不稳定局部熵的重分形谱的Bowen不稳定熵和(q,.)-熵之间的关系式。最后，我们考虑了满足极限跟踪性质的动力系统的条件变分原理。若该系统具有传递性，我们可以得出Birkhoff水平集的拓扑熵与测度熵之间的变分关系；若系统不具备传递性，我们可以在遍历测度的支撑集合上来考虑重分形问题。本课题的研究对于深入认识动力系统的复杂性，具有重要的理论和实际意义。