微分算子自共轭域的实谱参数解刻画及谱分析

微分算子是最基本也是应用最广泛的一类无界线性算子。微分算子谱理论是一项应用基础研究，无论从纯数学还是从应用数学以及工程技术的角度来说，都具有十分重要的地位，为微分方程理论中许多问题的解决提供了理论基础。本课题围绕微分算子理论中关于自共轭域的刻画及谱的定性分析问题展开研究。拟利用实谱参数解来构造两端奇异微分算子的自共轭域；通过对这种新的自共轭域的刻画，探讨自共轭边界条件的分类问题，并研究此类微分算子实谱参数解的个数对谱的离散性的影响。进一步，在此研究基础上，深入研究实谱参数解在刻画微分算子自共轭域中的作用，探讨奇异常微分算子的正则逼近问题，讨论什么样的正则问题可以用来逼近奇异问题的谱。

微分算子是最基本也是应用最广泛的一类无界线性算子。微分算子谱理论是一项应用基础研究，为微分方程理论中许多问题的解决提供了理论基础。本项目我们研究了微分算子理论中关于自共轭域的刻画及谱的定性分析问题。..我们给出了两端奇异微分算子自共轭域的描述。我们将实谱参数解分成LC和LP两类，利用LC解给出最大算子域一种新的分解，进而利用实参数解给出了此类微分算子自共轭域的完全解析描述。并注意到，LC解用于刻画微分算子的自共轭域，LP解则没有用到。..基于上述新的自共轭域的刻画，我们对两端奇异微分算子的自共轭边界条件进行了分类。将这些自共轭边界条件分成三类：分离的，耦合的及混合的，并分别给出各种类型的边界条件有多少个。 此结果为研究边界条件的标准型及算子谱性质提供了基础。..研究了一类具有正则型点奇异微分算子自共轭域的实谱参数解刻画问题。 这不同于以往对最大算子域及自共轭域复参数解刻画。 由于自共轭算子的谱是实的，利用实谱参数解来刻画不仅有利于我们找到方程的显解，同时暗示着谱的相关信息。..我们构造了两端奇异微分算子的Green函数。此构造不同于通常的构造，我们直接利用微分方程的解明确地构造了奇异边值问题的Green函数。采用正则化方法，基于一个简单的变量代换将具有极限圆端点的奇异问题转化为正则问题。 通过这种Green函数的构造，得到了两个奇异问题互为共轭，特别地互为自共轭的充分必要条件，其结果完全类似于正则情形。..我们研究了什么样的正则问题可以用来逼近奇异问题的谱。 在我们对自共轭域的实谱参数解刻画基础上，对于偶数阶的实系数奇异问题，构造了这样的正则问题。 在这些逼近问题中，我们所构造的LC和LP解扮演着很重要的角色。 我们对分离边界条件、耦合边界条件、混合边界条件，最小亏指数情形构造了正则算子来逼近奇异问题的谱。 此结果目前正在整理中。..我们还研究了一类重要的中间有不连续点的奇异微分算子谱的定性分析及特征函数系的完备性问题。..对这些理论的研究将使微分算子理论更加深入和完备，也可为物理和其他应用领域的研究提供一个坚实的基础。我们按照项目计划书的研究内容，开展工作，取得了预期的成果，完成了项目计划研究内容。