高余维平均曲率流理论及其在辛几何中的应用

我们知道，曲率流理论在解决众所周知的世界数学难题如Poincare猜想与Thurston几何化猜想等已显示出其强大的威力，而该理论的威力来自于对曲率流方程本身的理解。平均曲率流作为一种特殊的曲率流，它在辛几何和复几何中的应用受到了国际上众多数学家的关注。如何利用高余维平均曲率流去构造特殊拉格朗日子流形是目前国际几何分析领域的热点问题，本项目将尝试开展这方面的研究。我们将详细研究卡拉比－丘成桐流形中的子流形的曲率性质在平均曲率流下的演化过程，分析解的长时间性态，其中关键的问题是了解子流形的奇点结构。我们通过深入研究平均曲率流解的奇点结构和self－similar解的分类问题，对拉格朗日平均曲率流的解的极限行为做出刻画，从而根据得到的结果更好地认识高余维平均曲率流与特殊拉格朗日子流形的关系。

平均曲率流方程是子流形几何中研究子流形拓扑和几何性质的非常有效的工具，深受数学家的关注。本项目的主要工作是运用现代偏微分方程方法去理解特定几何空间中子流形的几何性质，并通过求解几何偏微分方程，去把具有某类曲率特性的黎曼流形等距嵌入到目标空间中成为其嵌入子流形，得到特定几何空间中该子流形的具体实现。主要成果包括：（1）解决了一个具强负曲率的完备曲面在三维Lorentz-Minkowski空间中的等距嵌入问题，并且证明了这种等距嵌入的方式在某一意义下是唯一的；（2）分析了具强负曲率的完备曲面通过上述方式等距嵌入到Lorentz-Minkowski空间中作为子流形所具有的子流形几何性质，对它的第二基本形式进行有界控制；（3）证明任何一个具负曲率的二维紧致黎曼流形上，存在一个在其等距群作用下不变的正定的对称（0，2）型张量，且该张量满足Gauss-Codazzi-Weingarten方程，换句话说，该张量的表现有如“第二基本形式”。