弹性问题Locking-free有限元离散系统的快速算法研究及其数值软件

弹性问题的数值求解在科学计算和工程技术上都是很重要的问题。在实际工程中，相当多的材料（如橡胶、塑料）呈现几乎不可压缩的性质，这种几乎不可压缩性常常给有限元分析带来诸多不便，如出现Poisson Locking现象。克服Locking现象的方法很多，如混合有限元法，非协调有限元法，高阶协调元法及减缩积分法。减缩积分会使单元刚度矩阵秩降低，常引起多余的零能模式。基于能量泛函极小的离散变分问题更容易被解决，并且有限元方程的系数矩阵是正定的，给求解带来了很大的方便，而低阶非协调元具有自由度少的优点。因此，本课题分别采用高阶协调元和低阶非协调元法克服二维和三维弹性材料的Locking现象，研究相应的有限元离散化系统的高效代数多重网格算法和预条件Krolov子空间迭代算法，建立相关理论，并形成相应的数值软件。研究成果将对提高现有弹性问题的数值计算与数值仿真水平起到重要作用。

按照项目原定计划, 我们针对弹性力学问题及其相关问题，围绕项目的预定研究内容开展工作。针对含跳系数椭圆问题的二阶混合有限体格式对应的离散系统、几乎不可压弹性力学问题的离散系统以及弹性力学问题在几种特殊情形（如高次元、各向异性网格、自适应网格等）下的离散系统，设计和分析了几种基于部分几何和分析信息的代数多重网格（Algebraic Multigrid; AMG）法及PCG方法，获得了一批新的理论成果，并在此理论基础上构造了相应的快速算法，研制了相应的解法器；针对参考节点分别为q=3和q=4的网格结构模型，设计了两种具有很好的求解效率和鲁棒性的预处理方法；通过将AMG法引入并应用于管路内紊流的数值计算中，用其对流体机械的锥形渐扩管路内紊流实例进行数值计算，显著提高了计算效率。所取得的研究成果丰富和发展了现有AMG的算法和理论，具有重要的理论和实际工程意义，对提高现有弹性力学问题的数值计算与数值仿真水平起到重要作用。本项目组已出版学术专著一部，在《Numerical Linear Algebra with Applications》、《International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering》、《计算力学学报》及《工程力学》等国内外核心刊物上发表学术论文11篇，其中SCI、EI论文10篇，完成学术论文2篇（已完成投稿），我们圆满地完成了项目的预定研究任务，并在部分研究内容上做了适当的延伸和扩展。