双曲平衡律方程的任意拉格朗日欧拉间断有限元方法及平衡格式

In this project, we will develop the arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) discontinuous Galerkin (DG) methods for the hyperbolic balance laws, the related well-balanced schemes and adaptive algorithms. This project is based on our former work on the ALE-DG methods for the hyperbolic conservation laws. After the establishment of the framework of the ALE-DG methods for general balance laws, we will consider the stability, error estimates and the well-balanced property of the schemes. Hyperbolic balance laws admit steady state solutions which are usually non-trivial and often carry important physical meaning. A straightforward numerical scheme may fail to preserve exactly these steady states. The well-balanced schemes are introduced to preserve exactly, at a discrete level, some of these equilibrium solutions. One major advantage of the well-balanced schemes is that they can accurately resolve small perturbations to such steady state solutions with relatively coarse meshes. We will consider the shallow water equations with a non-flat bottom topography and the Euler equations with source terms, and develop the well-balanced schemes based on ALE-DG methods. Some applications will also be considered on the related topics.

本项目的研究目标是针对双曲平衡律问题，建立基于任意拉格朗日欧拉 (Arbitrary Lagrangian-Eulerian, ALE) 坐标下的间断有限元 (discontinuous Galerkin, DG) 方法，设计基于ALE间断有限元 (ALE-DG) 方法的平衡 (well-balanced) 格式与自适应算法。基于前期工作关于ALE坐标下守恒律问题的间断有限元方法，我们将构造平衡律问题的ALE间断有限元算法，并对算法的稳定性、平衡性、误差分析等方面进行系统地研究。双曲平衡律方程有时具有非平凡稳态解，这时需要数值格式能够具有平衡性质，即在粗网格下也能精确捕捉稳态解及其附近的小扰动。我将主要针对两类双曲平衡律问题：非平坦底部浅水波方程和带源项的欧拉方程，构造基于ALE-DG方法的平衡格式，并将算法应用到相关实际应用问题。

本项目的研究目标是对双曲平衡律问题建立基于任意拉格朗日欧拉 坐标下的间断有限元（ALE-DG）方法，以及基于ALE-DG 方法的平衡 格式与保结构算法。由于平衡律方程有时具有非平凡稳态解，这时需要数值格式能够具有平衡性质，保证格式即使在粗网格下也能精确捕捉稳态解及其附近的小扰动。基于双曲守恒律问题的ALE间断有限元方法，我们将主要衡律问题的ALE间断有限元算法，并对算法的稳定性、平衡性、保正性及误差分析等方面进行系统地研究。项目主要研究内容包括ALE 间断有限元方法的设计与分析、保结构的高精度间断有限元方法的设计与分析、ALE-WENO 高精度算法设计、以及非线性高阶波动方程间断有限元方法的设计与分析。我们对双曲平衡律及相关问题包括浅水波方程，含源项欧拉方程，移动区域Hamilton-Jacobi方程、移动区域对流扩散方程、具有奇异解的双曲问题、高阶非线性波动方程等设计了一系列高精度保结构数值方法，并进行了理论分析与数值试验。这些方法能够应用于流体力学、天体物理、海洋、水利工程和大气建模等高精度计算模拟中。项目执行期间共发表有标注SCI收录期刊论文 24 篇，已接受论文 2 篇，培养毕业博士研究生3名，其中一位博士毕业生获“香江学者计划”支持，一人获得法国 Lebesgue 数学中心博士后研究资助。