自变量受限的回归模型的同步置信带

Research on simultaneous confidence bands has always been an important statistical inference problem. Compared to confidence intervals, confidence bands not only has superior multivariate statistical significance, but also has good applicable prospects. A confidence band provides the location information of the true regression mean and can be used to test if a given function can be viewed as a reasonable candidate of the real model based on sample data. However, it's found that construction of confidence bands becomes a hard problem when the number of predictor variables is increased or the domains of predictor variables are restricted. This project is to work on non-exact construction methods of confidence bands over rectangular predictor space which often appears in practical problems, and compare the performances of involved methods in various data environments via statistical simulations. As for models non-linear situations, we shall select the generalized linear models for studying, to check the accuracies of the non-exact confidence bands by comparing the simulated bands' coverage probabilities to the pre-assigned confidence levels.In addition, we shall particularly discuss some issues on constructing confidence bands for Logit models due to their wide uses in marketing science.

置信带的研究一直都是统计学中一个重要的推断问题。相对于置信区间，置信带不仅具有更优越的多元统计意义，更具有良好的应用前景。置信带提供了真实回归模型均值的位置信息，可用于检验某个给定的方程可否作为样本数据合理的回归表达。然而，人们发现当自变量增多或者取值受限时，置信带的构建成为了一个难题。本项目要研究的是在实际问题中经常出现的矩形自变量限制区域上构建非精确置信带的方法，以及通过统计模拟展现相关方法的实际运算能力。针对模型非线性的情形，选取广义线性模型为研究对象，通过比较模拟的置信带覆盖概率和预设置信水平来考察几种非精确置信带的精度。此外，针对市场营销中Logit模型的广泛应用，我们还将特别地讨论对于Logit模型置信带相关的构建问题。

置信带的研究一直都是统计推断中的一个重要问题。相对于置信区间，置信带不仅具有更优越的多元统计意义，更具有良好的应用前景。置信带提供了真实回归模型整体均值的位置信息，可用于检验某个给定的方程可否作为样本数据合理的回归表达。在一直以来的研究进展中，研究者们发现当自变量个数增多或者自变量取值受限时，置信带的构建成为了一个难题。本项目着眼于在实际问题中经常出现的矩形自变量限制区域，研究在受限的自变量空间上构建回归模型均值的置信带的方法，并通过模拟比较不同方法在多样数据环境下的实际运算能力。针对多元线性回归模型，我们比较了Naiman的保守置信带、Sun & Loader的近似置信带以及Liu等人基于模拟的精确置信带，分别在一元和多元的情况下得到了重要结论；针对一元多项式回归模型，Spurrier在之前的工作中对二次多项式回归的多种置信带进行了比较，我们在此工作的基础上将比较的工作进展到了四次多项式回归，并且针对Spurrier比较中不充分和重复的部分予以了补充和修正；针对广义线性模型，我们通过关联函数的结构和性质推导出了反应变量的非线性非精确置信带，并通过考察模拟的置信带覆盖概率与设定的置信水平之间的差异来比较基于不同方法构建的置信带精度。