约束优化问题的拉格朗日乘子理论与算法研究

本项目主要研究：1.在国家基金项目（10761001）所获得的高效共轭梯度和拟牛顿等算法的基础上，寻找求解约束非线性规划问题新的增广拉格朗日算法，并对这些算法的全局和局部收敛性质进行探讨，给出初步的数值结果比较；2.对某些非线性锥规划问题，建立拉格朗日乘子理论（包括乘子及解存在性、解的稳定性和正则性等），并给出新的具有全局收敛性质的增广拉格朗日算法，并根据规划的锥结构探讨所给算法的局部收敛性；3.最近，Chao Ding,Defeng Sun 和Kim-Chuan Toh在文"An Introduction to a Class of Matrix Cone Programming"（2010修改稿）首次引入了矩阵锥规化的概念并探讨了这个模型的一些性质，我们将探讨矩阵锥规划与研究内容2相似的问题。这三类问题的解决，对优化领域的理论研究和算法研究具有重大意义。

在经济计划、工程设计、生产管理与运营、交通运输等领域产生了大量的优化问题，需要在众多的可行方案中快速、有效地寻找出最优方案，且需对解的性态（存在性、稳定性、正则性等）作进一步的研究分析，为科学决策提供依据。最优化理论与方法的研究对象是各类优化模型的理论性质及其有效求解方法，这是运筹学的一个重要研究方向。基于此，本项目主要研究：（1）对带约束的非线性规划问题，寻找新的约束规格和增广拉格朗日函数，探讨各种约束规格或正则条件下所给的增广拉格朗日算法的全局收敛性和局部收敛性质，并给出算法的数值实验和Matlab程序；（2）考察约束优化问题 ，在各种约束规格下，探讨 的拉格朗日乘子的存在性，探讨二阶(或强二阶)充分条件和强正则性之间的关系；（3）矩阵锥规划是一个新课题，还有很多未知的问题待以解决，争取对不同的矩阵锥规划给出合适的约束规格，证明拉格朗日乘子的存在性，根据这些性质设计拉格朗日型求解算法并进行数值试验，给出Matlab程序。在本项目资金的支持下，本项目进展顺利，均达到预定的目标，共发表论文33篇，其中SCI收录17篇，核心期刊9篇，出版专著1本。项目研究成果既包含有预定内容，同时我们将结果扩展到非线性方程组、非光滑优化以及金融优化等方面，均取得不错的结果。可以说项目成果包含了理论结果和实际应用这两个方面。