Lévy噪声激励下具有时滞的肿瘤免疫系统的动力学研究

Tumor is one of the leading threats to human health. The research on the mechanism of tumor growth has important theoretical significance and application values in medicine. Up to now, the existing research on dynamics of tumor growth is mainly conducted for the tumor-immune systems driven by continuous stochastic excitations. In fact, the continuous and jump stochastic excitations coexist in the complex environment of tumor growth. Besides, the interaction processes between tumor and immune systems are not completed instantaneously. Thus, this program aims to investigate the dynamics of the tumor-immune systems with time-delay driven by Lévy noise. At first, based on the theory of infinitesimal operator, the corresponding Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) equation is derived and the numerical methods are carried out. The stochastic bifurcation behaviors are explored through the stationary probability density. Accordingly, the inherent mechanism of the phase transition induced by Lévy noise and time-delay is revealed. Secondly, the stochastic stability of the system is considered on the basis of largest Lyapunov exponent method. The immunotherapeutic strategies for the treatment of tumor are discussed. At last, three different periodic treatments are introduced in the constructed model, respectively. And then, the stochastic resonance is researched by using statistical complexity measures. According to the synergies effects between Lévy noise and time-delay, the optimal periodic therapies for tumor patients are studied. The fulfillment of this program can help understand the inherent mechanism of tumor growth under immunological surveillance and provide theoretical guidance for the prediction and treatment of tumor in clinical practice.

肿瘤是危害人类健康的主要疾病之一，对其生长机制的研究具有重要的理论意义和医学应用价值。目前，对肿瘤动力学的研究大多是基于连续型随机激励驱动的肿瘤免疫系统。事实上，肿瘤生长环境是连续与跳跃因素共存的，并且肿瘤和免疫系统的相互作用过程也不是瞬时完成的。据此，本项目拟研究Lévy噪声激励下具有时滞的肿瘤免疫系统的动力学行为。首先，利用无穷小算子理论，推导系统对应的福克-普朗克-柯尔莫哥洛夫方程并给出其数值求解方法，通过稳态概率密度讨论系统的随机分岔，揭示Lévy噪声和时滞诱导肿瘤发生相变的内在机理。然后，基于最大Lyapunov指数法研究系统的稳定性，探讨肿瘤的免疫治疗策略。最后，在系统中分别引入三种不同的周期治疗策略，运用统计复杂度法研究系统的随机共振，根据噪声和时滞的协同作用探讨肿瘤最优周期治疗策略。本项目的完成能进一步了解免疫监视下肿瘤生长的内在机理，为临床上肿瘤的预测和治疗提供理论依据。

现如今，恶性肿瘤仍是致死率最高的疾病之一。在肿瘤细胞和免疫系统相互作用的过程中，噪声和时滞是不可避免的。目前有关环境扰动对肿瘤增殖影响的研究多考虑的是连续型随机扰动，对连续和跳跃共存型扰动的研究还很匮乏。本项目用Lévy噪声来刻画肿瘤细胞和免疫系统相互作用过程中的随机扰动，并引入免疫时滞建立了肿瘤生长模型。应用随机动力学理论分析了Lévy噪声和时滞对临床上关心的问题：肿瘤细胞的演化规律，肿瘤的治愈率和治疗时间以及有效的周期治疗方案进行了研究。主要研究内容包括以下几个方面：. 1.研究了Lévy噪声激励下肿瘤免疫系统的最大可能轨道。推导了系统对应的Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程，给出了求解该方程的数值方法，得到了系统从高浓度稳定肿瘤态出发的最大可能轨道，使得肿瘤的演化轨道可视化。. 2.研究了Lévy噪声激励下具有免疫时滞的肿瘤系统的首次逃逸概率和平均首次逃逸时间。基于Itô公式和Dynkin公式，推导了系统首次逃逸概率和平均首次逃逸时间所满足的方程，给出了求解该方程的数值方法，得到了控制肿瘤灭绝的最优参数。. 3.研究了周期治疗下具有Lévy噪声和免疫时滞的肿瘤系统的随机共振行为。引入周期信号来模拟临床上对肿瘤的治疗，建立了含有周期治疗的随机时滞肿瘤模型。基于Monte-Carlo方法得到了系统的信噪比。依据信噪比分析了噪声、时滞和周期治疗对系统随机共振行为的影响。. 这些研究阐明了环境和时滞因素对免疫监视下肿瘤增殖的影响，揭示了在随机环境下肿瘤演化的内在规律性，为临床上制定有效的治疗策略提供了理论依据。. 此外，本项目还进行了如下的扩展研究。一方面，由于具有Lévy噪声的随机微分方程对应的FPK方程为分数阶扩散方程，本项目对分数阶扩散方程的数值方法进行了研究，为探讨生物模型的动力学行为提供了数值算法。另一方面，基于生物模型的共性，项目组还对传染病模型的动力学行为进行了研究，揭示了影响疾病发展的因素，促进了数学在生物动力学研究中的交叉应用。