Alon-Jaeger-Tarsi猜想与特征标方法

Alon-Jaeger-Tarsi猜想是组合数学中的一个公开问题，与Alon-Tarsi基猜想等组合数学中的著名猜想有着深刻联系。我们将指出这一猜想和群覆盖研究领域的联系，证明Alon-Jaeger-Tarsi猜想被项目组负责人与合作者提出的一个关于Abel群上的子群覆盖的猜想所蕴涵。在本项目的研究中，我们将发展新型的特征标方法，利用这一研究工具和群覆盖等研究中的一些技巧，解决关于Abel群上子群覆盖的猜想，并由此证明Alon-Jaeger-Tarsi猜想。 项目组期望本研究促进特征标方法在相关领域的发展，为许多相近的Abel群上的问题的研究提供强有力的工具，推动这些问题的解决。

本项目的研究对象是组合数学中的Alon-Jaeger-Tarsi猜想及其相关问题。首要研究对象是Alon-Jaeger-Tarsi猜想。这一猜想的研究起源于图论中的nowhere-zero flows的研究。与组合与图论中的许多问题有着广泛的联系。在研究中。，我们揭示了这一猜想与群覆盖问题中的一些问题的联系。在这一领域，G.Lettl、孙智伟和B. Szegedy等人利用特征标方法和Galois理论的一些技巧取得了一些相关的研究成果。在本项目研究中，我们进一步发展了他们的研究工具，利用特征标方法证明了郭嵩和孙智伟提出的一个群覆盖猜想在Abel群中的情形，并由此给出了Alon-Jaeger-Tarsi猜想的证明。相关研究成果已形成论文，正在投稿中。这一结果和研究方法对相关研究领域都有着推动作用。本项目的另一个研究领域是受限制和集问题。2005年，著名数学家陶哲轩发展了新型的不确定型原理，将解析方法引入到了和集问题中。相关问题原来的研究工具也是多项式方法和特征标方法。在本项目研究中，我们发展了陶哲轩的这种方法，给出了著名的Erdos -Heilbronn猜想的新的解析证明，并在后续研究中，证明了这一领域的新的强结果。这一领域的研究，也进一步揭示了这几种数学工具在相关数学领域的深刻联系。