关于1-Laplace型方程与平均曲率型方程的研究

1-Laplace算子和相关偏微分方程近年来受到越来越多重视，这不仅仅是由于人们对退化问题研究兴趣的增加，更重要的是它在几何分析，图像恢复与分割，最优形状设计，山体塌方模型等领域有众多的应用。同它们的广泛应用相比，基本理论研究显得滞后，许多重要的基础问题有待研究，例如特征值问题。本项目第一个部分旨在研究1-Laplace算子的高维特征值问题（包括特征函数的刻画）以及1-Laplace型方程的多解问题。非参数化的平均曲率型方程也是一类非常重要的偏微分方程，而且它与1-Laplace型方程联系非常密切，两者有着许多共性。本项目第二部分旨在研究平均曲率型方程，研究的问题包括一维问题精确解的刻画，Liouville-Gelfand问题， 径向对称解的存在性以及热流方法的应用。

平均曲率型方程和一拉普拉斯型方程是两类重要的拟线性方程，但是由于技术上的困难等原因，长期以来受到的关注较少。本项目围绕这两类方程的一些基本问题进行了研究。对平均曲率型方程各种一维问题解的精确个数和全局分支曲线结构，高维径向问题解的存在性与非存在性，高维一般有界域上狄利克雷问题的上下解方法，基于平均曲率型方程的微机电系统模型，高阶抛物问题的刘维尔型定理，一拉普拉斯型方程解的存在性和多重性等方面取得了许多进展。目前已经在本领域的国际期刊上发表七篇论文，其中几篇论文已经开始陆续被许多国内外同行所引用，成为了进一步研究的基础。