基于变分分析的集值隐函数的度量正则性研究

The research about the well-posedness of implicit multifunctions is a leading subject of modern variational analysis. The metric regularity, linear openness and Lipschitz continuity are most crucial properties among wellposedness of implicit multifunctions. By using the Ekeland variational principle, Fermat principle and full calculus of coderivative and subdifferential, this project will mainly study the metric regularity, linear openness, Lipschitz continuity and lower semicontinuity of implicit multifunctions in infinite spaces, and prove new implicit multifunction theorems. This project will give the randomlization versions of the above results, and study applications of random implicit multifunction theorems in random parameter constrained systems, random parameter variational systems and random parameter generalized equations. The research of this project will further enrich full calculus of coderivative and subdifferential, develop the theory of random implicit multifunctions, and provide new theoretical tools and methods for solving related problems in optimal control, numerical analysis, dynamical system and economics.

集值隐函数的适定性研究是现代变分分析的前沿课题之一，度量正则性、线性开性和Lipschitz连续性是适定性中最为关键的性质. 本项目拟利用Ekeland变分原理、Fermat原理以及上导数和次梯度的完备分析法则等，研究无穷维空间中集值隐函数的度量正则性，以及与之密切相关的线性开性、Lipschitz连续性、下半连续性等，给出新的集值隐函数定理. 将上述结果随机化，得到随机集值隐函数定理，并研究其在随机参数约束系统、随机参数变分系统和随机参数广义方程等方面的应用. 进一步丰富上导数和次梯度的完备分析法则，发展随机集值隐函数理论，为最优控制、数值分析、动力系统、经济学等领域中相关问题的解决提供新的理论工具和方法.

本项目以变分分析、非光滑分析、集值分析和非线性分析的理论、方法和技巧为基础，研究集值隐函数的(局部)度量正则性，以及与之密切相关的线性开性、似-Lipschitz性、非空性和下半连续性等．主要研究结果包括：(1) 在适当的条件下证明无穷维空间中距离函数的下半连续性，借助Ekeland变分原理、Frechet上导数和Frechet次微分等，在Asplund空间中研究参数集值映射的线性开性，给出线性开性的一些定性结果，并用具体的例子来阐明这些结果；(2)借助Ekeland变分原理、Clarke上导数和Clarke次微分等，在一般的Banach空间中给出集值隐函数的(局部)度量正则性、似-Lipschitz性、非空性和下半连续性成立的充分条件，以及非凸广义方程解映射的次度量正则性成立的充分条件；(3)借助Ekeland变分原理、Mordukhovich正规上导数和次微分等，在可分Asplund空间给出随机集值隐函数的(局部)度量正则性、似-Lipschitz性、非空性和下半连续性成立的充分条件，并应用到随机参数广义方程解映射的稳定性分析中. 本项目的研究不仅可以进一步丰富和发展集值隐函数的理论、方法和技巧，而且也可为大量产生于最优控制、数值分析、动力系统、经济学等领域中一些实际问题的研究提供新的理论依据.