一种基于人工神经网络构建的问题单元指示器

Hyperbolic conservation law is an important partial differential equation. There is a long history of the study of numerical approximation for hyperbolic conservation law. Even if the problem has smooth initial value, the solution of the equation may have discontinuities after a while, and the numerical solutions of many methods will have spurious oscillation near the discontinuities. The major method used to handle discontinuities numerically is to detect the troubled-cell, which contain the discontinuities, then use other non-oscillation methods to reconstruct the numerical solution. However, there is no indicator that can accurately identify the troubled-cell. In the past few years, some researches have proposed that artificial neural network can be used to find the troubled-cell. This project proposes to construct an artificial neural network to find the troubled-cell, then use supervised learning to train this artificial neural network as a troubled-cell indicator. Finally, the indicator can be applied to find the numerical solution of more complex hyperbolic conservation law. And this troubled-cell indicator can be applied to other modern scientific problems.

双曲守恒律方程是偏微分方程中的一类重要方程，对此类方程的求数值近似的研究由来已久。双曲守恒律方程即使是光滑的初值也可能导致一段时间后方程的解出现间断，而许多数值方法的数值解在间断处会产生伪振荡。对于间断处的伪振荡常见的处理方法是寻找出含有间断点的问题单元，然后在这些问题单元使用其他的无振荡方法重构数值解。但是现在还没有一种指示器能精准的判别问题单元。近几年有些研究工作提出可以使用人工神经网络技术去寻找问题单元。本项目拟针对此方面存在的问题，考虑从人工神经网络方向构建一个多层感知器去寻找问题单元，并通过对简单方程样本运用监督学习训练，得到合适的问题单元指示器，最后可以将该指示器直接运用到更复杂的双曲守恒律方程的求数值解问题上。同时在完成上述内容的情况下，考虑将此问题单元指示器运用于更广阔的现代科学问题上。

双曲守恒律方程是偏微分方程中的一类重要方程，对此类方程的求数值近似的研究由来已久。双曲守恒律方程即使是光滑的初值也可能导致一段时间后方程的解出现间断，而许多数值方法的数值解在间断处（问题单元）会产生伪振荡。本项目通过使用机器学习方法在对双曲守恒律方程的问题单元寻找方面开展了卓有成效的工作。..本项目通过使用人工神经网络技术构建一个多层感知器去寻找问题单元，通过对简单函数数据样本运用监督学习训练，得到合适的问题单元指示器，接着通过问题单元指示器寻找出含有间断点的问题单元，最后使用Runge-Kutta间断Galerkin方法重构非问题单元内的数值解，使用高精度无振荡方法重构问题单元的数值解。此人工神经网络问题单元指示器只需要通过一次训练，就可以快速精准的定位问题单元，并且该指示器在训练后没有额外的问题相关参数，训练后可以将该指示器直接运用到含有任意初始值以及通量双曲守恒律方程的求数值解问题上。对于先期数据准备经过数次调整将训练集和测试集分开准备，使其避免产生训练结果迅速过拟合而无法进行充分训练。而后通过改变多层感知器的隐藏层的层数和每个隐藏层的节点数，运用监督学习训练计算层与层之间的权重和偏差。此方法将机器学习和问题单元指示器结合，相较于minmod限制器能避免了含有光滑极值点的单元被标记为问题单元，且和TVB限制器相比无问题相关参数，适用于各类双曲守恒律方程。