局部紧群与局部紧量子群的(T)性质与顺从性质

Property (T) and amenability are two of the most important properties in the modern theory of topological groups. Locally compact quantum group is a non-commutative generalization of locally compact group in the framework of operator algebras. Recently, property (T) and amenability for locally compact groups and locally compact quantum groups are not only the popular topics in group theory, operator algebras and abstract harmonic analysis, but also have many important applications in ergodic theory, dynamic system, geometry, number theory and quantum field theory, etc.. This project is devoted to the study of three topics as follows:.(1) generalization of some theories related to property (T) for locally compact groups to the case of locally compact quantum groups; .(2) discussion on the relation between amenability for locally compact quantum groups and nuclearity for group C*-algebras;.(3) giving more ways to construct non-trivial property (T) locally compact quantum groups using bicrossed product.. The applicant had already obtained some results on the topics above, and published two research articles on Internat. J. Math. and Studia Math. It is the main aim of this project to advance the development of the theories of locally compact groups and locally compact quantum groups, and to provide the important theoretic basis for the studies of operator algebras, abstract harmonic analysis and other related topics.

(T)性质和顺从性是现代拓扑群论中两个极其重要的性质。局部紧量子群是局部紧群在算子代数框架下的一种非交换的推广。目前，局部紧群和局部紧量子群的(T)性质和顺从性质不仅是群论、算子代数和抽象调和分析等领域内的热门课题，并且被应用于遍历理论、动力系统、几何、数论以及量子场论等领域。. 本项目将致力于研究以下三个方面：.(1)将与局部紧群(T)性质有关的理论推广至局部紧量子群上；.(2)探讨局部紧量子群的顺从性与其群C*-代数的核性质之间的关系；.(3)利用双交叉积的方法，构造更多非平凡的具有(T)性质的局部紧量子群的具体例子。. 申请人在上述研究方向已取得一定的成果，在Internat. J. Math.和Studia Math.上发表论文两篇。本项目最终目标是促进局部紧群和局部紧量子群的理论研究的发展，为算子代数、抽象调和分析及其他相关领域的研究提供重要理论依据。

(T)性质和顺从性是现代拓扑群论中两个极其重要的性质。局部紧量子群是局部紧群在算子代数框架下的一种非交换的推广。目前，局部紧群和局部紧量子群的(T)性质和顺从性质不仅是群论、算子代数和抽象调和分析等领域内的热门课题，并且被应用于遍历理论、动力系统、几何、数论以及量子场论等领域。Sturm-Liouville理论，自产生以来，一直在工程技术、数学物理、生命科学等领域有重要应用。受众多领域应用的驱动，Sturm-Liouville特征值问题和其逆问题一直是国内外研究的热点。Sturm-Liouville理论的重要研究工具之一即为现代泛函分析，包括算子代数与无界算子及其谱分析理论。本项目主要的研究内容和成果主要分为四个方面。（1）定义了L^1代数中的次紧元素，以此初步给出了紧支撑连续函数代数的量子版本，为获得局部紧量子群上的Delorme-Guichardet型定理打下了基础。（2）定义了离散量子群在紧量子空间上的新型作用，说明了此新作用与通常定义的作用的相容关系，并以此刻画了离散量子群的顺从性，给出了此作用下不变态的存在性，并将其推广至一般的Fusion代数。（3）证明了Strum-Liouville问题的Dirichlet特征值序列关于势函数是一致局部Lipschitz连续的，为Strum-Liouville特征值问题的未来研究提供了新思路和新工具。（4）定义了带有Dirac权和一般可积势的Strum-Liouville问题的特征多项式和特征矩阵，解决了此类问题的Dirichlet特征值的计数问题，提供了一种直接计算此类问题的特征值的通用算法，并将此应用于一类带有单一Dirac权的逆谱问题。此项研究结果为一类弦振动系统提供了研究方法和计算方法，同时也必将引发一系列新的逆谱问题和优化问题。