非线性Schrödinger方程孤立子和怪波的数值方法

Solitons and rogue waves are important topisc in nonlinear science, such as nonlinear optics, fluid dynamics and Bose-Einstein condensate. They are very useful in optimizing the quality of optical fiber communication, reducing the risk of marine navigation and marine operations. In the project, we will study the numerical methods for computing solitons and rogue waves in the nonlinear Schrödinger equation(s). We will construct the solitons of spin-1 BEC, spin-2 BEC theoretically by multi-scale expansion method, and propose efficient and accurate numerical method to computing vector solitons. The stability and interaction between soltions will be also studied in this project. Meanwhile, we will study the mechanism of rogue waves theoretically, and establish an effective algorithm to simulate rogue waves. Moreover, we will study the interaction between solitons and rogue waves in the multi-components nonlinear Schrödinger systems. We hope this study can give some help for controlling nonlinear waves.

孤立子和怪波理论是非线性光学、流体力学和Bose-Einstein凝聚态(BEC)等非线性科学研究领域中的重要课题，对优化光纤通信质量、降低海洋航行和海上作业风险等社会实际生产生活有着重要的指导作用和应用价值。本项目的主旨是建立求解非线性Schrödinger方程(组)孤立子和怪波的数值方法。一方面，我们将尝试利用多尺度方法从理论上构造spin-1 BEC和spin-2 BEC等方程的孤立子，建立求解spin-1 BEC和spin-2 BEC等方程向量孤立子的数值方法，并结合理论和数值方法，分析孤立子的稳定性以及相互作用。另一方面，我们将从理论上分析怪波的产生机理，给出其存在的条件，并建立求解怪波的有效算法，进而讨论算法的稳定性，有效性以及误差估计。特别地，我们将结合理论和数值方法，分析多组分非线性Schrödinger系统怪波与孤立子间的相互作用，为非线性波的控制设计提供理论依据。

孤立子和怪波理论是可积系统研究中的重要课题，在非线性光学，流体力学及Bose-Einstein凝聚态等非线性科学的研究中科学价值。. 在本项目中，我们主要完成以下主要工作: 1) 利用映射梯度法，数值计算了带自旋-1及自旋轨道耦合的波色-爱因斯坦凝聚态基态解。我们在空间上采用二阶差分格式，时间上采用Crank-Nicolson方法，该方法可以保持质量守恒，因此有很好的计算精度和效率。2) 建立了求解怪波的数值方法。由于怪波在空间变量趋于无穷的时候不是趋于零的，并且对于空间变量衰减速度很慢，为提高计算精度和效率，我们设计了三种人工边界条件，并在此边界条件下，比较了不同数值方法的效率和精度，给出了计算怪波相对有效的方法，并利用该方法数值研究了怪波的稳定性以及相互作用。3) 利用约化的动力学定律，我们研究了非线性Ginzburg-Landau-Schrödinger方程量子涡旋的相互作用，采用理论和数值实验相结合的方法得到一些描述量子涡旋相互作用的不变解，解析解和数值解，较好的刻画了量子涡旋的动力学行为。4)我们讨论了非线性系统首次积分的存在性，给出了一般共振情形下，系统不存在首次积分的判定准则。该准则可应用于可积系统的判定。. 本项目期间所获得成果主要以学术论文形式呈现。在此期间，项目组成员共完成论文6篇，其中4篇SCI 已发表，两篇已整理完成并投稿。