拟线性Schrödinger型方程孤立波解的稳定性研究

Schrödinger equation is an important equation of partial differential equation and plays an fundamental role in the quantum mechanics equation..The quasilinear Schrödinger equations are important models in plasma physics, nonlinear optics, and so on. In this project, we are going to apply the theories of harmonic analysis, functional analysis and the spectral analysis of operators, to study stability theory of solitary wave solutions for the quasilinear Schrödinger equations. The project will mainly discuss several problems as following: .1..We will study the long time behavior of the solution for initial data near ground states or excited states for the nonlinear Schrödinger equations with potential, by using the tools of normal forms and the spectral analysis of operators..2..We are going to study the strong instability and the existence of blow-up solution for the generalized derivative nonlinear Schrödinger equations by using the theories of variation and modulation. .3..We will consider to study the instability of the solitary wave solutions for the derivative nonlinear Schrödinger equations in the degenerate case. We will use the degenerate condition and the theories of virial functions.

Schrödinger方程不仅是量子力学的基础方程之一, 也是偏微分方程中一个重要的方程.. 拟线性Schrödinger型方程是等离子体、非线性光学等物理领域中的重要模型，也是一类重要的色散方程。本项目拟应用调和分析、泛函分析、算子的谱理论研究拟线性Schrödinger型方程孤立波解的稳定性理论。主要包括：.1.拟运用规范形式（normal forms）理论和算子的谱理论，研究带位势Schrödinger方程初值在基态与激发态之间时解的长时间行为。.2.拟运用变分理论和调制稳定性理论，研究广义导数Schrödinger方程孤立波解的强不稳定性以及爆破解的存在性。.3.拟运用退化性质和维里量泛函理论，研究带五次非线性项的导数Schrödinger方程孤立波解在退化情形时的不稳定性。

本项目主要研究了拟线性Schrödinger方程孤立波解的稳定性理论。拟线性Schrödinger方程是等离子体、非线性光学等物理研究领域中的重要模型，也是一类重要的色散方程。在项目的支持下，主要得到了带五次非线性项导数Schrödinger方程（DNLS-b）、广义导数Schrödinger方程（gDNLS）在退化情形孤立波解的不稳定性。在退化情形时，孤立波解的不稳定性问题变得更加的复杂，在经典的Lyapunov泛函失效的情况下，我们主要是利用调制Viral泛函理论。DNLS-b方程和gDNLS方程在退化情形不稳定性的证明，也为经典的导数Schrödinger方程在退化情形时稳定性理论的研究，甚至是解的爆破性都提供了一个方向。. 此外，根据本项目的研究进展，还得到了有关数值分析的结果，主要包括mKdV方程和E-E型DS方程在低正则空间中的数值算法和收敛性分析。经典的数值方法和数值分析有：有限差分法、有限元方法、分割法、Splitting方法、谱方法、不连续Galerkin方法、指数型方法等，但这些方法都要求初值具有较高的光滑性。现实生活中，由于噪音或者测量等原因，往往使得初值达不到理想的光滑条件。从而，在本项目的支持下，我们构造了一类在低正则性的框架下，还能够保持一阶收敛的数值格式，这将有利于科学和工程各个领域的应用。