若干矩阵方程求解、扰动和预处理的研究与应用

非线性矩阵方程和大规模特殊系数矩阵线性方程组，在计算流体力学、电磁学、交通运输等领域中存在着广泛应用。相应的求解问题和预处理问题是近年来非线性分析和数值代数方向的新兴课题。.本项目拟解决如下两个重要问题:（1）具有特定对称性结构的非线性矩阵方程的数值求解与扰动分析问题。给出方程的可解性条件和扰动界、刻画解的特性、创建高精度数值算法；.（2）大规模M-矩阵、H-矩阵和鞍点矩阵线性方程组的预处理问题。针对系数矩阵的结构特点，提炼预处理技术，改善方程性态。并应用研究成果，有效解决结构力学中的动力分析问题和优化控制中的模型修正问题。. 本项目将使上述方程的定解理论和算法研究更为系统和深入。有助于进一步完善矩阵方程的理论和方法，并为工程技术人员解决相关应用问题提供科学依据。

本课题主要做了以下几项研究.1.矩阵方程的研究，共分两大部分: 第一部分是耦合矩阵方程组问题和约束耦合矩阵方程组问题及其最佳逼近问题的迭代算法研究; 第二部分是一类非线性矩阵方程的相关理论和迭代算法研究..2.特殊矩阵Hadamard积和Fan积特征值的研究，对两个非负矩阵，利用Hadamard积的性质和非负矩阵的谱半径的估计，给出了两个非负矩阵Hadamard积的谱半径的上界，对于两个M-矩阵，利用Fan积的性质和特征值的Cassini卵形包含定理，给出了两个M-矩阵Fan积的最小特征值新的下界；对两个可逆M-矩阵，给出了M-矩阵和M-矩阵逆的Hadamard积的最小特征值的新的下界。这些结果改进了已有的结果。.3.鞍点系统的迭代求解和预处理技术的研究。我们给出了新的局部交替Hermitian和skew-Hermitian分裂预处理求解鞍点问题。预处理矩阵谱的性质进行了详细的分析，理论结果显示，当迭代参数从正趋于0时，预处理矩阵的所有的特征值产生两个紧束，一束在（0,0）附近，一束在（2,0）附近。数值实验显示，预处理子是有用的。