复杂裁剪几何模型的参数化及在等几何分析中的应用

Isogeometric analysis is a new numerical method for physical simulation, which unifies the geometric data between CAD and CAE and provides the possiblity of integration of CAD/CAE. Trimming technique is a powerful and efficacious way of creating complex geometries, and the generated models are called trimmed geometries. A limitation of isogeometric analysis is that it is difficult to treat the problems with arbitrary complex topology with trimming operations. In order to parameterize trimmed geometries, this project focuses on three aspects: 1) Decompose the trimmed surface with several NURBS surfaces which do not intersect, and apply the decomposition based parameterization to isogeometric analysis. This method provides possibility of integration with other multi-patch based methods. 2) Optimize the process of isogeometric analysis with trimming technique for the problem where decomposition based parameterization is not proper, and it can be achieved by the optimization of trimmed elements. 3) Decompose 3D complex geometry using its skeleton and parameterize the 3D geometries based on decomposition. This method can enhance the quality of parameterization which improves the effectiveness of isogeometric analysis. Our research aims to extend the application of isogeometric analysis on complex geometries, improve the efficiency of isogeometric analysis, and enrich the geometry modeling theory, which contribute to integration of the process "design-analysis".

等几何分析是针对CAD/CAE无缝融合的需求应运而生的新型模拟仿真方法，为两个领域的模型统一开辟了新途径。本项目针对等几何分析应用在复杂裁剪几何模型上的局限，拟解决复杂裁剪几何模型的参数表示问题。具体包括三方面的内容：(1) 研究裁剪曲面的基于多片表示的参数化方法。将裁剪曲面剖分成多片不相交的非裁剪曲面，便于在等几何分析中的应用及与其他方法的结合。(2) 优化裁剪曲面直接应用于等几何分析的方法。对于某些物理问题和更加复杂的裁剪几何模型不适合建立基于剖分的参数化，我们优化裁剪单元的处理，提高等几何分析效率。(3) 研究三维复杂几何模型基于剖分的参数化，获得高质量参数化结果，更适合于等几何分析。本项目的研究有利于拓展复杂几何模型上的等几何分析，提高裁剪几何模型上等几何分析的效率，丰富几何造型方法及应用，为“分析-设计”的真正统一做出贡献。

对工业设计出的产品进行CAE分析时，需要对几何模型进行网格划分，这是源于设计与分析发展的不同步，使得两者采用的模型表示方法不同。特别是当产品模型越来越复杂时，网格剖分等前期处理占用的时间越来越长，成为了CAE分析的瓶颈。2005年国际著名计算力学专家Thomas Hughes及其合作者提出了等几何分析的概念，目的是将有限元分析（FEA）和计算机辅助设计（CAD）统一起来，参数化是等几何分析提出后面临的最关键的问题之一。为复杂的几何模型构造适合分析的参数化，成为等几何分析研究迫切需要解决的问题，本项目在此研究背景下对复杂几何模型参数化问题进行了研究，主要内容及成果包括：.1、适合等几何分析的广义B样条的构造。圆锥曲线和多项式曲线/曲面没有统一的表达式，如何在这些广义B样条空间中构造广义非均匀B样条模型的一种统一表示是一个重要且具有挑战性的问题。针对此问题我们给出构造了广义非均匀B样条的统一方法，并应用在等几何分析中，提高了分析精度和计算效率，拓展了等几何分析中几何模型的表示方式。.2、基于多片表示的平面复杂模型的参数化。对于复杂CAD边界围成的平面区域，我们提出了构造适合等几何分析的参数化的通用框架，同时适用于平面带洞区域。通过全局优化生成了带有少量奇异点的高质量四边形剖分，再利用局部优化方法给出具有较好均匀性和正交性的子区域的Bézier面片表示，同时满足子区域之间的C1/G1连续性条件。此框架可以看做广义Bézier提取框架，所得到的Bézier面片用作IGA的计算单元能够提高了等几何分析的效率，较少个数的奇异点能够提高等几何分析的精度。.3、优化裁剪曲面直接应用于等几何分析的方法。针对韩国科学技术院的Hyun-Jung Kim教授提出裁剪等几何分析方法进行了部分优化，能够提高裁剪单元上的积分效率，改善刚度矩阵的性质。.4、等几何分析在生成浅浮雕上的应用。基于等几何分析方法将用户给定的图案生成浮雕效果，同时模型的表示方式是连续光滑的样条表示，可以方便地对模型进行分析和修改，拓展了等几何分析的应用领域。